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1、短柱承受轴轴向力之变变形短柱（即L/d较小时）承受轴向外力或 负载时，仅仅会表现出压缩的变形，如下图 ，横截面面积为A的短柱此时的压缩应力很 容易得到。f=P/AP短柱承受偏心外力的变变形 当短柱受到偏心距离e的外力或负载 作用时，不仅有压缩 的变形，还会弯曲。 这是在分析应力是就应该 是两者之和。剖面等值分布应力为f0=P/A剖面弯曲应力fb=P*e*y/I则距离y,y1,y2各层的合成应力分别为 f=f0+fb;f1=P/A+P*e*y1/I=f0(1+e*y1/k2) f2=f0(1-e*y2/k2)上几式中I=k2A,其中I为剖面二次矩，k为回转半 径eyy1y2P长长柱的稳稳定性概念
2、、 临临界压压力 在工程中，构件除了因为强度或刚度不够而 发生断裂、变形过大而无法正常工作时，还存在 另外一种破坏形式，即构件丧失稳定性而失去承载 能力。例如一条长钢锯 ，横截面为10mm2,钢的 许用应力为300MPa，则此钢锯 能承受的轴向压 力为3KN。但在轴向压力不到30N时，锯条就会被 明显压 弯而无法正常工作。 由此可见，长柱即细长压 杆的承载能力并不 取决于轴向抗压强度，而取决于长柱受压时 是否 能保持直线形态的平衡。若将外加压力考虑成与 轴线 重合的理想长柱力学模型，则将长柱由直线 稳定平衡转化为不平衡时所受到的轴向压力的极 限值称为临界压力。 长长柱的临临界压压力分析现在以两
3、端圆端的长柱为例来推导临 界 压力的计算公式。 x 方向的弯矩方程为M=-Pw(w为挠 度，符号与M相反) 当为小变形时，根据挠曲线的近似微分方程, 记i2=P/EI,则有后一个微分方程通解为：w=Asinix+Bcosix 根据长柱边界条件：x=0和x=L时，w=0可得B=0,Asanix=0 即iL=n ，i=n/L,得到P=n2 2EI/L2,当n=1时，得到最小的压力 即临界压力P= 2EI/L2，即此类长 柱的欧拉公式。 其中I为横截面最小的二次矩。PxLw其它端点条件长长柱的临临界压压力 对于端点束缚为 其它条件的长柱临界压 力除了可以采用之前挠曲线微分方程来推导 以为，大部分还可
4、以采用类比的方法来得 到。例如一端固定，一端自由的长柱(a)，其 挠曲线形状和长度为2L两端圆端的长柱(b)上半段AC相同则根据前面的推理(a)所示长为 L长柱的临界压力和(b)所示长为 2L的长柱临界压力相同，将2L带入其欧拉公式得到：P= 2EI/4L2L2LACACB(a)(b)长长柱临临界压压力公式的统统一形式 由以上的推理和类比法,可知虽然长柱 的两端的约束条件各不相同,但是其欧拉公 式是基本相同的,差别只是在一个常系数上, 于是得到长柱临界压力公式的统一形式:P=n* 2EI/L2其中n便是不同束缚条件下的常系数，其值 可以用挠曲线微分方程推理或者查表得 到。长长柱的临临界应应力公
5、式 将临界压力P除以长柱的横截面面积 A求得的应力，称为长 柱的临界压力：=n* 2EI/A*L2 将I=k2*A带入，并记2=n(k/L)2,则得到= ( )2*E其中为一无量纲参数，称为长 柱的柔度或c 长细 比，反映了长柱长度、约束条件、截 面形状和尺寸对临 界应力的影响。 因注意的是欧拉公式只有在临界压力不超过 材料的比例极限时才是正确的。提高长柱稳定性的措施1.选择 合理的截面从欧拉公式看，截面的二次矩I越大，即回 转半径k越大，临界压力P就越大。即增加 截面面积，或者在截面面积不变的情况下 仅可能把材料放在离截面形心较远 的地方 ，可以提高其稳定性。例如在截面面积不 变的情况下，空心环形截面就比实心圆型 截面更加合理。当然也不能一味增加其环 形截面而并减小其壁厚，这有可能将造成 局部失稳。提高长柱稳定性的措施2.改变长 柱的约束条件和合理选择长 柱从欧拉公式看，长柱的支座和约束条件可以影 响其系数n的大小，当合理选择约 束条件使n 较大时，稳定性明显提高，比如两端固定的 长柱的临界压力就比两端圆端的长柱提高了4 倍。3.合理选择 材料由公式可知，在材料弹性模量E较大时，长柱 的稳定性明显提高。但对于各种钢材其E值大 致相等，所以对于受到轴向外力的长柱，选 择优质钢 材和低碳钢差别不大。
