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1、偏微分方程的数值方 法刘 铭 偏微分方程定解问题，是表述自然与工程技术领域中各种现象最重要的数学工具之一，应用十分广泛。遗憾的是，绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示，因而其数值解就显得尤为重要。虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方法也在20世纪初得到研究，但是，它们发展成为一门理论上严谨，实用上有效的学 科，还是20世纪50年代以来的事，这主要得益于电子计算机的诞生。偏微分方程的分类（1）椭圆型方程（2）抛物型方程（如热传导方程）（3）双曲型方程（如波动方程）三种类型的边界条件：（1）狄里赫利型边界条件（第一类边界条件）：边界上的函数值已知；（2
2、）纽曼型边界条件（第二类边界条件）：边界上函数的法向导数值已知或是一种连续 函数。（3）混合边界条件：边界条件为第一类边界条件和第二类边界条件的线性组合。边界条件数值求解偏微分方程定解问题 的主要方法1.差分方法 2.有限元方法共同点：都是将连续的偏微分方程进行离散，采取适当形式将其化为线性代数方程组，通过求解代数方程组给出其数值解。差分方法无论是常微分方程还是偏微分方程，初值问题或边值问题，椭圆型、双曲型或抛物型二阶线性方程，以及高阶方程或非线性方程，通常均可利用此法将它们转化为代数方程组，再借助计算机求其数值解。目前，对于线性偏微分方程定解问题，差分方法已经形成了较成熟的算法格式，对于非线
3、性问题，有效的算法正在迅速发展之中。差分方法的准备工作（1）把求解的区域划分成网格；（2）把求解区域内连续的函数用网格节点上的离散的数值代替。网格的划分有不同的方法，有正方形和三角形网格等划分方法。 差分方法的基础，即泰勒级数展开：差分方法的基本概念-用差商代替导数一阶导数的差分表达式： 二阶导数的差分表达式：随着精度的不断提高，可以推导出无穷无尽的差分表达式。对于高阶精度公式，其 优点、缺点：（1）缺点：高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一步都需要更多的计算 时间。（2）优点：要得到相同精度的解，如果使用高阶差分格式，网格点的总数可以更少一些 ；高阶差分格式可以给出质量更高的解。
4、例如，方程有两个自变量x和t，设t是用于推进求解的变 量 。i是x方向的标号，n是t方向的标号。设第 n层上的数值已知，求第n+1层上的数值。差分方程的显式方法与隐式方 法 显式方法 时间导数 x方向导数 差分方程： 隐式方法 整理隐式格式，将未知量放在等式左边，已知量放到右边，得隐式格式可化成三对角形式的方程组。 显式方法：每一个差分方程只包含一个第n+1层的未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方式显式地求解。显式方法是最简单的方法。隐式方法：包含第n+1层上的多个未知量，必须形成一个代数方程组。由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。比显式方法需要更多、 更复杂的计
5、算。 显示方法和隐式方法的优缺 点1）显式方法优点：方法的建立及编程相对简单。缺点：对取定的x，t必须小于稳定性条件对它提出的限制。在某些情形，t必须很小，才能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值 ，就需要很长的计算机运行时间 。2）隐式方法 优点：用大得多的t值也能保持稳定性。 要将时间推进计算到时间变量的给定值 ，需要少得多的时间步，这将使计算机 运行时间更短。 缺点：方法的建立和编程更复杂。而且， 由于每一时间步的计算通常需要大量的 矩阵运算，每一时间步的计算机运行时 间要比显式方法长得多。求解偏微分方程的一些差分方 法有限元方法有限元方法属于变分法的范畴，是古典的变分法和分片多项式插值相结合的产物。由于差分法通常采用方形网格，很难适应区域形状的任意性，而有限元方法可以用多种多样的网格对区域作剖分，可以适应各种形状的区域。MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）提供了空间二维问题高速、准确的求解过程。用户只要使用界面或M文件，画出所需要的区域，输入方程类型和有关系数，就可显示解的图形和输出解得数值。谢 谢！
