动力学复习题2-1

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1、“动力学”计算题二(一)碰撞 (二)虚位移原理 (三)Lagrange方程 (四)振动理论基础1质量为m1的物块置于水平面上，它与质量为m2的均质杆 AB相铰接。系统初始静止，AB铅垂， m1=2m2 . 有一冲量为I 的水平碰撞力作用于杆的B端，求碰撞结束时物体A的速度。“碰撞定理”计算题(1)ABI2已知：m1=2m2 . 求：碰撞结束时vA=?(1)研究对象：整体；(3)碰撞过程质心运动定理：求解:(4)相对于质心的冲量矩定理：(2)系统的质心坐标：ABIC(5)以C点为基点，分析A点速度：（方向向左）3已知：m1=2m2 . 求：碰撞结束时vA=?冲量定理：求解:相对于质心的冲量矩定理

2、：(一)A块：方法二：取分离体；AvA(二)AB杆：冲量定理：ABIC（1）（2）（3）（4）运动学关系：(三)联立以上各式求解：（5）4三根相同的均质杆AB 、BD、CD用铰链连接，杆长l ， 质量m . 问水平冲量I 作用在AB杆上何处时，铰链A处的碰撞冲量为零？AIhBCD“碰撞定理”计算题(2)5问：水平冲量I作用在AB杆上何处时，铰链A处的碰撞冲量为零？AIhBCDICy ICxBIhIBA设设A A点碰撞冲量为零，对点碰撞冲量为零，对C C点的冲量矩定理：点的冲量矩定理：解：解：(1)(1)研究对象整体研究对象整体(2)(2)研究对象研究对象ABAB杆杆动量定理的水平方向投影式：动

3、量定理的水平方向投影式：对对A A点的冲量矩定理有：点的冲量矩定理有：（1 1）（2 2）（3 3）(3)(3)联立求解联立求解(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)式，得到：式，得到： AIhCDB6三个质量相同的套筒可沿光滑水平杆滑动。已知开始时 B、C两套筒静止，套筒A则以速度v 向左运动。若各套筒间 的恢复系数均为k（0 k 1），试求：(1)A与B碰后的速度；(2)B与C碰后的速度；(3)当A与B，B与C碰撞后，B与A是否再次碰撞？ABCv“碰撞定理”计算题(3)7试求: (1)A与B碰后的速度； (2)B与C碰后的速度；(3)当A与B，B与C碰撞后，B与A是否再次碰撞？ABCvA

4、BvB1vA1CBvC2vB2解：解： (1)A(1)A与与B B碰撞，由冲量定理得到：碰撞，由冲量定理得到：(2)B(2)B与与C C碰撞，同样得到：碰撞，同样得到：(3)(3)如果能满足如果能满足v vA1A1 v vB2 B2 就会再碰撞，即：就会再碰撞，即：恢复系数：恢复系数：8“ “虚位移原理虚位移原理” ”计算题计算题(1)(1)OABCMr1.5r2r0.4rO1P在图示四连杆机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩的大小 为M，方向如图所示，摇杆O1B上的点C受一垂直于O1B的力P 的作用。已知OA=r，AB=1.5r，O1B=2r，BC=0.4r。若机构在 图示位置(=30，O1B

5、A=90)处平衡，试用虚位移原理求M与 P之间的关系。各杆自重与铰链摩擦均不计。 9“ “虚位移原理虚位移原理” ”计算题计算题(2)(2)在图示压榨机机构的曲柄OA上作用以力偶，其矩 M0=50N.m，已知OA=r=0.1m，BD=DC=DE=l=0.3m，平衡 时OAB=90，15，各杆自重不计，试用虚位移原理求 压榨力F的大小。10质量为m1、半径为r的均质圆柱，可在水平面上作纯滚 动。圆柱中心O用刚度系数为k、原长为l0的弹簧系住，又在 圆柱中心用光滑铰链接一质量为m2、长为l的均质杆。取图示 的x、为广义坐标。试建立系统的运动微分方程。 AxkOx l0“ “LagrangeLagr

6、ange方程方程” ”计算题计算题(1)(1)11AxkOxl0（1 1）选择广义坐标）选择广义坐标; ;（2 2）用广义坐标表达系）用广义坐标表达系 统动能统动能: :（3 3）写出势能）写出势能V V及拉格朗日函数及拉格朗日函数L=T-V , L=T-V , 求解：求解：解：解：系统具有两个自由度。系统具有两个自由度。 选取选取x x、 为系统的为系统的广义广义 坐标坐标。C建立系统的运动微分方程? “ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(1)(1)12（1 1）选择广义坐标）选择广义坐标; ;（2 2）用广义坐标表达系）用广义坐标表达系 统动能统动能; ;（3

7、3）写出系统势能）写出系统势能V V及拉及拉 格朗日函数格朗日函数L=T-V L=T-V ; ;解：解：重力势能的零点取在重力势能的零点取在OO 点，弹性力势能的零点取在点，弹性力势能的零点取在 弹簧原长处，则弹簧原长处，则拉格朗日函数拉格朗日函数L=T-VL=T-V ，即即（4 4）代入）代入拉格朗日方程求解AxkOxl0C建立系统的运动微分方程? “ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(1)(1)13(1)(1)选择广义坐标选择广义坐标; ;(2)(2)用广义坐标表达系统动能用广义坐标表达系统动能; ;(3)(3)写出系统势能写出系统势能V V及拉格朗及拉格朗 日

8、函数日函数L=T-V L=T-V ; ;解：解：(4)(4)代入代入拉格朗日方程求解：“ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(1)(1)AxkOxl0C建立系统的运动微分方程? 14质量为m、杆长为l 的均质杆，其A端用刚度系数为k的弹簧系住，可沿铅直方向 振动，同时杆AB还可绕A点在铅直面内摆动。试建立杆 AB的运动微分方程。xAOxxBC“ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(2)(2)15建立AB杆的运动微分方程? (1)(1)选择广义坐标选择广义坐标; ;(2)(2)用广义坐标表达系统动能用广义坐标表达系统动能; ;(3)(3)写出系

9、统势能写出系统势能V V及拉格朗日函数及拉格朗日函数L=T-V L=T-V ; ;解：解：系统具有两个自由度系统具有两个自由度。x x、 为广义坐标为广义坐标。xAOxxBC“ “L L方程方程” ”题题(2)(2)解解16建立AB杆的运动微分方程? (1)(1)选择广义坐标选择广义坐标; ;(2)(2)用广义坐标表达系统动能用广义坐标表达系统动能; ;(3)(3)写出系统势能写出系统势能V V及拉格朗日函数及拉格朗日函数L=T-V L=T-V ; ;解：解：取平衡位置为重力及弹性力的零势能位置取平衡位置为重力及弹性力的零势能位置 ，则系统的势能为，则系统的势能为(4)(4)代入代入拉格朗日方

10、程求解：xAOxxBC“ “L L方程方程” ”题题(2)(2)解解17建立AB杆的运动微分方程? (1)(1)选择广义坐标选择广义坐标; ;(2)(2)用广义坐标表达系统动能用广义坐标表达系统动能; ;(3)(3)写出系统势能写出系统势能V V及拉格朗日函数及拉格朗日函数L=T-V L=T-V ; ;(4)(4)代入代入拉格朗日方程求解：解：解：xAOxxBC“ “L L方程方程” ”题题(2)(2)解解18建立AB杆的运动微分方程? 此题可能出错处此题可能出错处 写系统势能写系统势能V V的表达式的表达式: :势能的零位置取在平衡位置势能的零位置取在平衡位置, ,则系统的势能为则系统的势能

11、为弹性力势能计算与所确定的零势能位置不一致。弹性力势能计算与所确定的零势能位置不一致。弹性力势能的零位置取在系统的平衡位置。弹性力势能的零位置取在系统的平衡位置。弹性力势能应为：弹性力势能应为：选取不同的势能零位置选取不同的势能零位置, ,广义坐标原点改变广义坐标原点改变, ,微分方程可能不同微分方程可能不同。xAOxxBC“ “L L方程方程” ”题题(2)(2)解解1920在图示系统中，匀质圆 柱B的质量m1=2kg,半径 r=10cm，通过绳和弹簧与质 量m2=1kg的物块M相连，弹 簧刚度系数为k=2Ncm，斜 面的倾角30。假设圆柱 B滚动而不滑动，绳子的倾 斜段与斜面平行，不计定滑

12、 轮A、绳子和弹簧的质量， 以及轴承A处摩擦，试求系 统的运动微分方程。 AMkrBx2x1“ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(4)(4)21(1)(1)选择广义坐标选择广义坐标; ;(2)(2)用广义坐标表达系统动能用广义坐标表达系统动能; ;(4)(4)代入代入拉格朗日方程求解：求解步骤：求解步骤：(3)(3)写出系统势能写出系统势能V V ; ;AMkrBx2x1求解要点：求解要点：(1)(1)系统动能：系统动能：(2)(2)系统势能系统势能：取平衡位置为势能零点，弹性力静变形的势能与重力势能相取平衡位置为势能零点，弹性力静变形的势能与重力势能相 互抵消，则

13、系统的势能为互抵消，则系统的势能为“ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(4)(4)22AMkrBx2x1 势能表达式的具体分析势能表达式的具体分析 ：系统的势能为系统的势能为: :取平衡位置为势能零点，取平衡位置为势能零点， 设弹簧的静变形为设弹簧的静变形为 S S，则系统则系统 的势能为的势能为: :取物块取物块MM、圆柱、圆柱B B为分离体，列平衡方程：为分离体，列平衡方程：（1 1）（2 2）MMFm2g对对MM，对对B B，N NB BF FF FS Sm1gH因为不计轮因为不计轮A A质量质量, , 则则F F= =F F , , 联立联立(2),(3),

14、(4)(2),(3),(4)式，整理得式，整理得(1)(1)式。式。（3 3）（4 4）“ “L L方程方程” ”题题(4)(4)解解23夹紧装置如图夹紧装置如图, , 当转动手柄时，由于左右螺旋的作用，使左当转动手柄时，由于左右螺旋的作用，使左 右两杠杆各绕其支点作不同方向的转动，将工件夹紧，尺寸如右两杠杆各绕其支点作不同方向的转动，将工件夹紧，尺寸如 图所示，螺距为图所示，螺距为h h。求作用于手柄上的力矩。求作用于手柄上的力矩MM与工件所受压力与工件所受压力QQ 之间的关系。之间的关系。BACDGHMQQ45454545ll“虚位移原理虚位移原理”计算题计算题 (1)(1)24质量为质量为m m1 1的三角块的三角块A A在水平面上运动，质量为在水平面上运动，质量为m m2 2的物块的物块B B在三角块斜面上运动，斜面以及水平面光滑，倾角为在三角块斜面上运动，斜面以及水平面光滑，倾角为 ，弹簧弹簧刚度为刚度为k k。写出系统运动微分方程。写出系统运动微分方程。AB O“ “LagrangeLagrange方程方程” ”计算题计算题(1)(1)25