如何培养学生的数感[1]

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1、如何培养学生的数感王 永一、数感的形成什么是数感？在计算“”和“？”这类 题目时，有些学生很可能会竭尽全力去寻找合适的计 算程序来解决问题，而不会去努力寻找题目中数字的 相关联系。但是，有些孩子则能应用自己掌握的数字 事实来解决问题。我们把孩子们具有这种对数字之间关联的意识 以及灵活地解决数字问题的能力称为其对数字的“感觉 ”或“数感”。（英）朱莉娅安吉莱瑞数感和学校课程l 数学课程改革已经把标准计算程序的教学转 变为让孩子们学会辨别数字模式和数字关系，并 在两者之间生成联系的教学。l 把数感作为数学学校课程教学的主要目标， 指的是计算策略中的“灵活性”和“创造性”，反对 过分强调没有思维的计

2、算程序。l 21世纪的生活所必需的技能和理解力之一就 是对数字模式和数字关系的辨认，这些模式是对 数字进行有效运算的重点。数字模式l 重复型模式1，2，1，2，1，2 l 增长型模式2，4，6，813，23，33，43模式关系函数一道习题（加拿大）汤姆和丽娜出售烤蛋糕。他们每小时出售情况如下表：小时时汤汤姆 丽丽娜按照这样的规律，当丽娜出售个时，汤姆出售多少个？数字关系l 寻找一个数字与其他众多数字的关联 6是5之后7之前的数字（序数） 6是“3个2”“2个3”“4和2”等组合（结构） 6是与六个物体的总数相关的数字（基数） 6是“104” “12 ”“122” 等结果（运算）1 2l 从数字

3、关系去寻找有效的计算策略例1 计算： 2526， 3917，1235。第一题根据“已知事实”252550。可以迅速 推算出结果。 第二题可以转化为4016。第三题很可能要用到“拆分”数字的方法，可以 找到103025的组合。反思：哪些策略只对本题有效？哪些策略可以普遍 推广？l 数字之间相互联系的方式、不同的可能表达形式与不同运算相联系的意义，所有这些在孩子 们建立起数字与计算之间的联系中都起着至关重 要的作用。而数字与计算之间的联系又恰巧对他 们数感的形成有重要影响。例2 计算：543 算法1：543303243算法2：54360363算法3：54354（62） 5462l 应用标准的计算程

4、序可能没有根据数感选择 适当的计算策略有效。新的评价体系不再具有固定模式的数字运算， 而且这些运算也不需要标准的笔算程序。我们期待 学生能够从图形和表格中获取信息，计算空缺的数 字，并且研究数字模式。根据这些数字模式，孩子 们能够提出合适并有助于他们辨别数字关系的问题。 我们也期望孩子们能选择最合适的计算程序，包括 决定是否需要使用计算器等。这些新颖的教学观点 标志着数学教学的新开端。因此，就目前而言，仅 仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够， 教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学 的当务之急。关于数与运算的评价数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力， 以及灵活应用这种理解力的

5、倾向和能力，用这种方式 可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算 法则的有效策略。 （麦金托什等，1992年）数感体现的是应用数字和量化方法作为交 流、加工、解释信息的倾向和能力。它使人们意识 到数学是有某种规律的。（麦金托什等，1992年）根据麦金托什等人的分析，数感主要在三个领域 起重要作用：l 数字知识和数字的简便性数字的顺序感；多 样化的数字呈现形式；数字相对和绝对数量的判断； 思考数字的基准参考体系。l 运算知识和运算的简便性理解运算结果；意 识到所应用的规则；运算之间的关系。l 把数字、运算知识及其简便性应用到需要用数字 进行推理的问题中理解问题情境和合适的解题 策略之间的关

6、系；意识到存在多样化的数字呈现方 式；应用有效的数字表征形式和（或）方法的倾向； 检验数据和结果的倾向。理解的重要意义“理解数字和形成计算之间的关系”成为孩子们 学习的焦点，它取代了传统课程所要求的“四则运算 ”。尽管得到的数字结果通常与过去一样，但是现在 的学习要求孩子们自己建构计算方法。 虽然过去的数字运算通常和枯燥的、标准程序 的重复练习相联系，但是，数学教学方面的最新趋 势则转变为采用研究性教学方法和创设尊重个人思 维的课堂环境。回忆已经学过的计算程序的理解类型称为机械 性理解；关系性理解从不要求学习者接受，而是要 求他们尝试形成自己独特的理解：从知道怎样应用 知识进行计算扩展到理解为

7、什么这个计算程序有效 。培养心理意象在数学学习过程中，从应用具体经验转变到应用心算和 符号表征进行计算是需要时间的。在用抽象数字进行运算之前，可以先让孩子们学习用手 指或某些工具（珠子、立方体）来代替实物然后“模仿”具体 计算的情境。对孩子们来说，用哪些材料模拟数字并不重要，重要的 是要培养他们把数字与视觉材料相联系的心理意象，并且能 根据“想像”的情境来解决问题。研究表明，用实物进行运算 和用数字进行抽象运算之间存在着一个重要的过渡阶段，这 个阶段就是要孩子们通过想像的物体来运算。具体经验抽象/心算方法符号化关系数轴的模型1 23 4 5 6 7 8 9 100123456789 10171

8、0一串珠子一列立方体数字轨道数轴示意线二、加法和减法加、减法与计数的联系把一个物体放入到一个集合中，或者从一个集合取出一 个物体，这些实际活动为学生提供了与计数有关的语言表达 和体验的机会，这些语言表达方式和体验有助于他们把具体 的物体模型与某些抽象的数字模式联系起来。例如，“多一 个”就是与计数顺序中的下一个数字相联系，“少一个”则是 与计数顺序中的前一个数字相联系。这时，孩子们通过解决 具有实际意义的问题来认知这些计数模式。研究结果表明，即使缺乏熟练而复杂的数字计算技能， 低年级的学生仍能计算出结果。这就表明，孩子们是在问题 解决的过程中形成数学知识的，而不是孤立地学习这些知识 然后再单独

9、运用这些知识。加法是最基本的计数技能，“向前数”在早期阶段就是 有效的计数策略之一。例1 36l 数总体的策略。l 继续往下数的策略。l 从较大的数字开始，继续往下数。加法计数策略减法计数的策略例2 93l “数出”，即孩子们数9个手指，减少3个手指，然后 数剩下的手指。l “从较大的数字开始向后数”，即孩子们从较大的数字 9开始再数3个数字，所数的数字逐渐变小，即“9，8，7，6” ，得到答案6。l “往下一直数到较小的数字”，即从较大的数字9开始 一直数到较小的数字3，即“9，8，7，6，5，4，3”，得 到答案6。l 从3到9“向前数”。l 用已知的结果推断计算结果。理解加、减法的各种意

10、义教师与孩子们讨论数字与不同情境联系的方式，并向 他们介绍诸如“总和”“和”“取走”“余下”等词语，以及诸如 “多一个”“多两个”“多十个”和“少一个”“少两个” “少十个”等类似的表述。在早期阶段，教学的重点应在于 形成的数字关联以及相关的行为，因为数感就是伴随着孩 子们对不同表述得到相同结果的认识而培养起来的。在这一阶段，使用多种方式表达可以让孩子们明白 加法是指“增加”和“再多几个”，减法也包含了“两者之差” 的意思，这一点是非常重要的。通过合并与分割实物集合的方法可以引入加、减运算， 并且容易被接受，但是这样会限制孩子们对符号的理解范 围，而且会使他们对符号的意义产生错误的认识，从而导

11、 致他们以后不得不重新学习这些符号。阅读符号下面问题涉及同一个由三个数字组成的数字组，这类问 题有助于学生用各种方法灵活地解释符号。38 38 3853 53 85解决上述问题，目标是找到各种“阅读”问题表达形式 的方法，以及把这些表达形式和计算程序相互联系的方法 。教师需要认真思考如何去启发学习有困难的学生，而不 是直接“给”学生解释这些问题。四种主要的加减法应用题的类型变变化型淘气有5颗颗珠，笑笑又给给了他8 颗颗，这时这时 他有多少颗颗珠？笑笑有8颗颗珠，他拿出3颗给颗给 淘气 ，笑笑还还剩多少颗颗珠？结结合型淘气有5颗蓝颗蓝 珠和8颗红颗红 珠，他 共有多少颗颗珠？笑笑和淘气共有13颗

12、颗珠，如果笑 笑有5颗颗珠，淘气有多少颗颗珠？比较较型淘气有8颗颗珠，笑笑有5颗颗珠， 淘气比笑笑多几颗颗珠？笑笑有5颗颗珠，比淘气少8颗颗，淘 气有多少颗颗珠？相等型淘气有8颗颗珠，笑笑有5颗颗珠， 笑笑需要几颗颗就和淘气的珠一 样样多？淘气有5颗颗珠，如果笑笑减少8颗颗 就和淘气一样样多，笑笑有多少颗颗 珠？通过向学生介绍并让他们讨论各种语义结构，教师可以帮助 他们加深对问题的理解。对于很多数学学习者来说，大部分数学 学习都是与文字与意义有关而不是与算术计算有关。早期笔算的目的早期需要教会学生灵活地应用笔算并关注得出数字结果的模式：笔算是记录计算过程与结果的书面形式，而且记录的 形式并非唯

13、一。早期的笔算需要应用各种不同的计算格式来 表明如何用多种方式应用和解释数字关系和运算符号。如，538，也可写成8 53。你有什么 发现？8538628808 87 71 1早期笔算的另一个目的，是建立能够让学生从已 知知识中推断出新知识的模式：4374030707040 307 3 47 4 31431724327538639400300700700400300计算器的出现为现代数学教育的发展提 供了难得的机遇，我们不必再教给每一个公民 复杂的计算方法。因此，我们可以放弃正规（ 带有普遍的适用性和有限的可信度）笔算，转 而运用更适合于使用者心智和目的的方法 我们应该帮助孩子们获得巧妙的计算方

14、法 与反复使用并不为孩子们所理解的正规算法相 比，用孩子们自己的心算方法进行计算更有利 于加深他们对数字的理解。（普朗科特，1979）从非正规到正规的笔算在学习更为复杂的计算的情况下，首先会用到纸和笔，并且要形成某种书面形式来支持心算。在多位数的计算中，有必要用纸和笔记录计算的过程。 学校传统的算术教学方法（为笔算设定的程序），可能给孩 子们提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式本 身超出了许多学生的理解能力。在孩子们建立起心算的基础后，把以心算策略为基础的 非正规笔算循序渐进地发展到用正规方法进行计算是十分重 要的。只有这样，他们的自信心和理解力才不会受到影响。加、减法的笔算方法l顺

15、序法：保持一个数字不变然后加上或减去另一个数字的一部分以得 到部分和。最适当的记录形式是以水平排列进行，这种排列方式反 映了计算过程的各个步骤。例1 计算：583758260 603595或者583088 882595例2 计算：5738573027 278277119或者38240 401757 所以： 573817219这些方法的优点是在计算过程中的所有步骤都是显而易 见的，而且这些步骤都是建立在孩子们已知的方法，即把数 字分解成简单的“数字组块”的基础之上的。这样，孩子们就 可以使用已知的数学事实。l十分法：拆分两个数字并根据位值关系计算部分和。503080 7815 8015955 73 88 01 59 55 73189 5例3 计算：7324767 3 2 700302 60012012 4 7 6 400706 400 70 62 5 6