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1、第3章 两体问题一、中心势场中单粒子的运动：中心力：粒子的轨道方程：体系能量守恒：角动量守恒：二、与距离r成反比的中心势场: (万有引力势和库仑 静电势)：在万有引力作用下天体运动的轨迹问题也称为开普勒问题 。此时GM，质点的轨道方程可写为其中：在库仑排斥势场中粒子的轨道方程：近日点： ，远日点周期： ，椭圆面积：三、开普勒行星三定律：(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上 ；(2)行星与太阳的联线扫过的面积与时间成正比，或者说相 等时间内扫过的面积相等；(3)行星运动的周期的平方与它们的轨道半长轴的立方成 正比。宇宙速度：(1).第一宇宙速度v1,也称环绕速度，即环绕地球运动
2、的最低发 射速度(2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳 运动的最低发射速度(3).第三宇宙速度v3, 即飞离太阳系的最低发射速度其中v0为地球绕太阳的公转速度，v为msun为太阳的质量，rsun-earth为太阳-地球之间的距离。四、运动轨道的稳定性条件：比耐公式：由微小扰动：微小扰动满足方程：轨道的稳定性条件为：或：五、弹性碰撞和散射截面：如果两个粒子在碰撞前后其内部状态都不发生改变，则这种碰 撞称为弹性碰撞或弹性散射机械能守恒动量守恒有：微分散射截面：立体角：3.1 求质点在中心势场 中运动的微分方程的解。解：由公式 ，代入令：讨论：(1) 当 第3章 两体问题选适
3、当，使c=0, 得 (2) 当 选适当，使c=0, 得 (3) 当 选适当，使c=0, 得 第（2），（3）中情况会出现r0，即质点被力心所俘获当 ，t值有限3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹 性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速 度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运 动。 仅考虑体系的相对运动，体系势能 。两粒子相对运动可 看成质量为折合质量mr的质点的运动，运动方程为：其中：轨道方程为： 3.3 质点在一纬中心引力 的作用下，以速度为0，x=-a
4、处开始运 动，试求该质点到达力心o的时间。解：设无穷远处为势能零点，则代入粒子在中心势的运动方程：3.4 定性的讨论粒子在中心势 中的运动，式中k和 为常数。解：当 1时，V0，此时近似做自由粒子的运动；当 1时， ，粒子近似做在势场 中的开 普勒运动；当 1时， ，粒子近似做开普勒运动，但势场 减弱为3.6 求粒子在中心力 的作用下的轨道方程。解：粒子的中心势场可写为代入 令： ，其中：3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0 (抛物线轨道)时，坐标对时间 的依赖关系。解：粒子在中心势场 中运动，代入运动方程：令 ，则若 ，则3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平
5、 均值的一半(位力定理)。证明：在椭圆轨道情况下， 。设 ，a，c分别是半长 轴和焦距有： ，周期可写为： ，即势能：动能：证明2：令：经过一个周期：又： ，在椭圆轨道3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角 来表示粒子碰撞后的速度，即用 和 来表示 和解：设m1的初速度为可得：其中：代入上式得：3.22 设一质量为m的质点在 的中心力场中运动，试求其在稳 定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。解：由比耐公式，轨道微分方程为：其中设势场有一微小扰动，使粒子轨道代入上式，保留到的一级项，得满足方程：得轨道稳定条件为： 轨道稳定附近径向振动频率3.23 在地球表面A
6、处，一发射角60和初速 发射一卫星，其中R 为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加速 度 ；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率 ；(3)如果卫 星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的轨 道形状。解：卫星处于重力势场 中，由重力Fmg,卫星的轨道方程可写为：其中：轨道方程为： ，当 r =R时(1)受力分析得：(2)当 时，有由机械能守恒有：即：(3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，即轨道形状为抛物线(2)当 时，有由机械能守恒有：即：例1. 质量为m的质点，在方向指向焦点的牛顿引力 ，的作用下运 动，(1)如果质点沿一半长轴为
7、a的椭圆轨道运动，试导出公式 其中v为质点的速度，r为质点到力心的距离;(2)如果质点沿双曲线轨道运 动，证明 ；(3)对抛物线轨道，证明例1. 质量为m的质点，在方向指向焦点的牛顿引力 ，的作用下运 动，(1)如果质点沿一半长轴为a的椭圆轨道运动，试导出公式 其中v为质点的速度，r为质点到力心的距离;(2)如果质点沿双曲线轨道运 动，证明 ；(3)对抛物线轨道，证明解: (1)椭圆轨道 半长轴为在有心力场中，系统角动量守恒，即由(3)和(4)得，将(2)代入(5)得，(2)双曲线轨道上面式(1), (3), (4), (5)均成立，但代入(5)得，(3)抛物线轨道式(1), (3), (4), (5)均成立，但e=1代入(5)得，(2)双曲线轨道，系统机械能为，(3)抛物线轨道，系统机械能为，解法2: (1)椭圆轨道，系统机械能为，对椭圆轨道，机械能可表示为，即得机械能又可表示为，抛物线轨道机械能为零，所以即得
