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1、复习1 拉氏变换的定义对于时域函数 f(t)，只要满足相应的收敛条 件，其拉氏变换(Laplace变换)的常规定义为 其中，f(t)-变换原函数；F(s)-变换象函数：复变函数；s-复变量：s=+j。拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为其中，积分围线c为由s=-j到s=+j的闭曲线。鉴于工程上常常需要处理在t=0处不连 续的函数甚至具有更复杂性质的函数，控 制理论中常常把拉氏变换的定义修改成对于在t=0处连续，即满足f(0+)=f(0-)的函数来 说，这样定义与常规定义并无区别。而采用修改后的 定义可以使微分方程的求解过程大大地简化。今后，我们将采用修改后的拉氏变换定义。复习2 常用信号
2、的拉氏变换控制系统分析中常常需要采用一些典型的时域 输入信号，我们来求它们的拉氏变换。1、单位脉冲信号且理想单位脉冲信号的数学表达式为拉氏变换为说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。 设单个方波脉冲如图所示。脉冲的宽度为a，高度为1/a，面积为1。当保持面积 不变，宽度a-0, 高度1/a-，则单个方波脉冲演 变成理想的单位脉冲。f(t)1/aa0t(t)t02、单位阶跃信号f(t)10t显然, 有拉氏变换为简写为单位阶跃信号的数学表达式为3、单位斜坡信号简写为0f(t)t单位阶跃信号的数学表达式为利用分部积分公式, 可求得拉氏 变换为4、指数信号tf(t)10指数信号的数学表达式为拉氏变换
3、为5、正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指 数信号的拉氏变换求得。由复指数函数的拉 氏变换，有因为由欧拉公式分别取上式的实部和虚部，可得正弦信号的拉氏变换为有余弦信号的拉氏变换为常见的时域信号的拉氏变换见附录I(P604) 。复习3 拉氏变换的一些基本定理1、线性定理则若2、延迟定理则信号f(t)与它在时间轴上的平移信号f(t-T)的关系示意图ttf(t)f(t-)00若 该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的 衰减变换。求如图所示周期锯齿波信号的拉氏 变换。解 ：f(t)t 0 T该信号为周期信号。若已知 信号第一周期的拉氏变换为 F1(s)，则应用延迟定理， 有锯齿波信
4、号第一周期的拉氏变换为所以，周期锯齿波信号的拉氏变换为3、衰减定理则若该定理说明，时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其 拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。解：因为所以试求时间函数的拉氏变换。4、微分定理且f(t)的各阶导数存在，则f(t)各阶导数的拉氏变 换为若 则当所有的初值均为零时，即5、积分定理积分定理与微分定理互为逆定理 。 则若6、初值定理即时域函数的初值，可以由变换域求得。且f(0+)存在，则若7、终值定理且f()存在，则若即时域函数的终值，也可以由变换域求得。8、卷积定理时域函数的卷积分为 则若为何要将时域函数f(t)转换成复 变函数F(s)？时域中超越函数在变换域中是有理函
5、数。可以简化计算，如卷积分转变成相乘 运算。两个优点 ：复习4 拉氏反变换将复变函数F(s)变换为原时域函数f(t)的 运算是拉氏变换的逆运算，称为拉氏反变换， 公式为这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。常用方法-部分分式法。理由 ：工程中常见的时域信号f(t)的拉氏变换F(s)都 是s的有理函数。因此，可以将F(s)分解成一 系有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏变换表求 出所有的fi(t)=L-1Fi(s)，即可合成时域函 数f(t)(根据拉氏变换的线性变换定理)。过程：其中，B(s)-分子多项式；A(s)-分母多项式；a0,a1,an-1;b0,b1,bm-常系数，nm。设拉氏变换F(
6、s)为s的有理分式，即求出分母多项式对应A(s)=0的根si(i=1,2,n） （称之为极点）。于是，有从而可得拉氏反变换为计算情况：（1）A(s)0全部为单根为复变函数F(s)对于极点s=si的留数。拉氏反变换为其中F(s)可分解成已知：求拉氏反变换。解：F(s)可分解成其中于是(2) A(s)=0有重根其中，与单根s1相对应的系数C1求法同前;与重根s2 相对应的各项系数计算公式如下以只有一个单根为例，即s1为单根，s2为 (n-1)重根，则F(s)可分解为因为所以，拉氏反变换为已知： 求拉氏反变换。解：F(s)可分解为解得于是，有从而(3) A(s)=0有共轭复数根当存在共轭复数根时，可
7、以将共轭复数根当 作单根(互不相同)来看待。但分解计算时，涉及 到复数运算，太繁琐，可以利用如下变换对来简化计算 。已知：求拉氏反变换 。解： F(s)可分解为而于是，有复习5 拉氏变换法求解微分方程列出控制系统的微分方程之后，就可以求 解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统 的运动规律。微分方程可以采用数学分析的方 法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。采 用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算 的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求 解微分方程步骤如下：（1）方程两边作拉氏变换。（2）将给定的初始条件与输入信号代入方程。（3）写出输出量的拉氏变换。（4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。RC滤波电路如图所示，输入电压ui(t)=5V ，试求：当电容初始电压uc(0)分别为0V和1V 时的时间解uc(t)。解：RC电路的微分方程为R=10kui=5VucC=10方程两边作拉氏变换由拉氏变换的线性定理，有由拉氏变换的微分定理，得将R=10k, C=10, Ui(s)=5/s代入，整理得于是，输出的拉氏变换为（1）uc(0)=0V时（2）uc(0)=1V时uc(t) 5V1V00.1t 两种初值时系统的 时间响应解：方程两边作拉氏变换，得例2-14(P32) 已知微分方程输入信号 ,初始条件为 ,求y(t)。代入初值，得作拉氏反变换，得
