有限元课件13-矩形单元

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(1) 位移模式选择：两个，每个 四项， 上述的阶数为二次型，比三角形单元高，故可以 更好地反映物体的应力、应变状态，得到更高的精 度。它反映了单元的刚体位移和常应变，在单元的 边界上位移是按线性分布的，因此，相邻单元在公 共边上的位移是连续的。这样，位移模式满足了解 答收敛性的充分必要条件。四结点矩形单元有限元法介绍 (2) 形函数计算在式（3-1）中代入结点位移和结点坐标后，可 解出待定系数。将这些系数再代入式（3-1），可得 形函数：(3) 单元应变B是、的函数，即是x,y的函数。因此单 元中的应变不再是常数。(4) 单元应力：(5) 单元刚度矩阵 把B、D 代入上式，整 理后可得：(6)等效结点荷载单元的体积力和表面力引起的结点力仍可用 式（1-36）和（1-37）进行计算。由于位移分量 在x为常数及y为常数的直线上是线性变化的， 因此，载荷向结点的分配也符合静力等效的原 则。 (7) 整体平衡方程 根据各单元的刚度矩阵k、等效结点力列阵 ，按对号入座的方式叠加组装整体刚度矩阵和结 点荷载列阵，从而得到整体平衡方程： 引入位移约束条件，解上述线性方程组可得结 点位移，进而可求各单元应力。 四结点矩阵单元采用较高阶的位移模式，具有 比三结点三角形单元较高的计算精度。但矩形单 元也有缺点，一是不能适应斜线及曲线边界，二 是不便于采用大小不同的单元。