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1、第三节 变量间的相关关系与统计案例三年13考 高考指数:1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1.线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用是考查重点；主要是求线性回归方程的系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关.2.题型以选择题和填空题为主，难度不大，属中低档题.1.线性相关关系与回归直线(1)从散点图判断两个变量的相关关系正相关：点散布在
2、从 到 的区域.负相关：点散布在从 到 的区域.(2)回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，就称这两个变量之间具有 .这条直线叫做回归直线.左下角右上角左上角右下角一条直线线性相关关系【即时应用】(1)思考：相关关系与函数关系有什么异同点？提示:相同点：两者均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.(2)判断下列各关系是否是相关关系.(请在括号内填“是”或“否”)路程与时间、速度的关系； ( )加速度与力的关系； ( )产品成本与产量的关系； ( )圆周长与圆面积的关系
3、； ( )广告费支出与销售额的关系. ( ) 【解析】是确定的函数关系，成本与产量，广告费支出与销售额是相关关系.答案：否 否 是 否 是2.回归直线方程n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程为 = ,(其中我们将这个方程叫做回归直线方程， 叫做回归系数，相应的直线叫做回归直线.、【即时应用】(1)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到回归直线方程 ，判断下面说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程；( )直线 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点； ( )直线 的斜率
4、 ； ( )直线 和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的. ( )(2)已知回归方程 4.4x838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为_.【解析】(1)任何一组观测值都能利用公式得到直线方程，但这个方程可能无意义，不正确；回归直线方程 经过样本点的中心( )，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近，不正确；正确；正确(2)x与y的增长速度之比即约为回归方程的斜率的倒数答案：(1) (2)3.独立性检验(1)独立性检验的有关概念分类变量可以利用不同“值”表示个体所属的
5、的变量称为分类变量.不同类别y1y2总计x1x2总计22列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表称为22列联表，如表：(2)K2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2= ,其中n= 为样本容量.(3)独立性检验的定义及判断方法独立性检验的定义利用随机变量K2来判断“ ”的方法，称为独立性检验.独立性检验的方法有列联表法、等高条形图法及K2公式法.a+b+c+d两个分类变量有关系【即时应用】(1)下面是一个22列联表则表中a、b处的值分别为_.(2)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K
6、2的观测值k=27.63,根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是_的(填“有关”或“无关”).y1y2总计 x1a2173 x222527 总计b46【解析】(1)a+21=73,a=52.又a+2=b,b=54.(2)k=27.636.635,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为打鼾与患心脏病有关.答案：(1)52、54 (2)有关线性相关关系的判断【方法点睛】利用散点图判断线性相关关系的技巧(1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；(3)
7、如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.【例1】下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表.(1)将表中的数据画成散点图；(2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？(3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系气温()261813104-1 杯数y202434385064【解题指南】画出散点图进行分析,然后由线性相关的定义判断.【规范解答】(1)画出的散点图如图(2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系(3)根据
8、不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等如图【反思感悟】粗略判断相关性，可以观察一个变量随另一个变量变化而变化的情况.画出散点图能够更直观地判断是否相关，相关时是正相关还是负相关.【变式训练】5个学生的数学和物理成绩如下表：画出散点图，并判断它们是否有相关关系学生 学科数学物理A8070B7566C7068D6564E6062【解析】把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i1,2，5)，作出散点图如图从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大
9、，即它们正相关.线性回归方程及其应用【方法点睛】求样本数据的线性回归方程的步骤第一步，计算平均数第二步，求和 ;第三步，计算第四步，写出回归方程 【提醒】如果一组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所求得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.【例2】(1)(2011广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.(2)测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身 高(x
10、) 60626465666768707274儿子身 高(y) 63.5 65.26665.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.170画出散点图，说明变量y与x的相关性；如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程.(已知： =66.8, =67.01, =4 462.24, 4 490.34,=44 794, =44 941.93, =44 842.4)【解题指南】(1)求出回归方程，代入相关数据求得；(2)根据散点图判断相关性.根据已知数据和提示的公式数据求解,写出线性回归方程.【规范解答】(1)由题设知：设解释变量为x，预报变量为y，它们对应的取值如下表所示于是有 =173
11、， =176， ,=176-1731=3,得回归方程为 =x+3,所以当x=182时， =185.答案：185x173170176y170176182(2)散点图如图所示:观察散点图中点的分布可以看出:这些点在一条直线的附近分布，所以变量y与x之间具有线性相关关系.设回归方程为 .由=67.01-0.464 666.835.974 7.所求的线性回归方程为 =0.464 6x+35.974 7.【互动探究】若本例(2)题干不变,如果父亲的身高为73英寸，试估计儿子的身高.【解析】由本例(2)可知回归方程为 =0.464 6x+35.974 7.当x=73时， =0.464 673+35.974
12、 769.9(英寸).所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.【反思感悟】求线性回归方程，主要是利用公式，求出回归系数 ，求解过程中注意计算的准确性和简便性.利用回归方程预报，就是求函数值.【变式备选】已知x,y的取值如下表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且 =0.95x+a,以此预测当x=5时，y=_.x0134y2.24.34.86.7【解析】回归直线一定过样本点中心， =2, =4.5,代入 =0.95x+a中，得a=2.6，线性回归方程为 =0.95x+2.6,当x=5时，y=7.35.答案：7.35独立性检验的基本思想及其应用【方法点睛】利用统计量K2进行独立
13、性检验的步骤第一步根据数据列出22列联表；第二步根据公式计算K2的观测值k；第三步比较观测值k与临界值表中相应的检验水平，作出统计推断.【例3】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件根据所给数据：(1)写出22列联表；(2)判断产品是否合格与设备改造是否有关【解题指南】列表后利用K2的观测值进行检验.【规范解答】(1)由已知数据得(2)根据列联表中的数据，K2的观测值为k由于12.3810.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品合格
14、与设备改造有关合格品不合格品合计设备改造后653095 设备改造前364985 合计10179180【反思感悟】准确计算K2的观测值是关键.能有多大的把握认为两个变量有关，应熟悉常用的几个临界值.【变式训练】为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表：利用列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别是否有关？喜欢饮酒不喜欢饮酒总计 男10145146 女12420144 总计22565290【解析】由列联表中的数据得K2的观测值k11.953.k11.95310.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢饮酒与性别有关.【变式备选】有两个分类变量X与Y，其22列联表如下表其中a,15a均为大于5的整数，则a取何值时在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“X与Y之间有关系”？y1y2x1a20ax215a30a【解析】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X与Y之间有关系，则K22.706，而其观测值k解k2.706得a7.19或a5且15a5，aZ，所
