《自适应课件(北航)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自适应课件(北航)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 实时参数估计2.1系统辨识概念n 什么是系统辨识：是研究建立被控对象或过程数学模型的一种理论和方法，它根据输入输出数据，从一组给定的模型类别中，确定一个与所研究系统等价的数学模型。n 系统辨识的一般步骤1 实验设计与实施：根据建模目的，确定模型类型、精度和方法，设计获取系统输入输出信息的具体方案。 数据收集与处理：从实验中获得数据，并进行技术处理。 确定模型结构：利用先验知识和经验，假定模型的结构形式。 估计模型参数：对所假定模型结构形式下的相应参数进行估计。 模型检验：按某种准则，对模型的满意程度进行考察。不满意，修改模型结构，重新估计参数，并再次检验；满意，则辨识工作结束。n 自适
2、应控制中系统辨识的特点在结构已经确定的前提下，进行相关参数的估计。22.2 白噪声序列和离散时间系统数学模型2.2.1 白噪声序列如果随机过程 的均值和相关函数分别为则称 为白噪声过程。其中， 为单位脉冲函数。离散形式白噪声序列：如果随机序列 的均值为零，且两两不相关，对应的自相关函数为则称 为白噪声序列。其中， 为Kronecker函数。向量白噪声序列 定义为： 其中，R 为正定常数矩阵， 为Kronecker函数。32.2.2 离散时间系统数学模型u 确定性离散系统单输入/单输出方程形式：d为纯时 延，且分别为 k时刻的输出和输入 。其中状态空间方程：(2- 1)(2-2)(2- 3)4其
3、中，A0为nxn系数矩阵，B0为nx1输入矩阵， C0 为1xn输出矩阵。输入/输出方程与状态空间方程关系：u 随机性离散系统 自回归滑动平均模型其中，上式左边项为自回归项，右边第1项为滑动平均项，且为白噪声序列。(2-4)5 自回归积分滑动平均模型其中，其它含义与式（2-4）相同，且这里 d = 1，当d1时，B(z-1)多项式中前 d -1项的系数为零。 最小二乘模型此时，C(z-1)=1。 滑动平均模型此时，A(z-1)=1。62.3 最小二乘参数估计法2.3.1 批处理最小二乘法最小二乘模型展开上式设则前式可表为(2- 5) 当时，有7由式（2-5）有其中由于真实的 并不知道，不妨用
4、来表示它的估计值，基于 的输出估计为8其中，定义残差对于 则有其中现在的问题是：求使目标函数为最小的 （记为 ）。展开上式9对 求一阶导，并令其为零解得由于二阶导求得的 为极小值，式（2-7）为批处理的最小二乘估计公式。统计特性讨论1）无偏性：使J为最小的参数估计向量 的数学期望为参数真值向量，即证明：它揭示最小二乘参数估计是围绕参数真值波动的统计性质。(2-7)102）估计误差（偏差）协方差 证明：主对角线上各元表现参数估计的散度，非对角线上各元反映参数估计 各分量相影响程度或相关性大小。3）最小方差估计：设 为 的任一其他线性无偏估计，则即最小二乘估计是最小方差估计，也就是参数估计 离参数
5、真值 最近。证明：由于 为 的任一线性无偏差估计，所以 可表示为：11式中， ，并且 ，即从而因为所以4）一致收敛性：若12存在且正定，则 是一致收敛的，即由于所以由 的无偏性知所以例2.3.1 现有最小二乘模型其中， 为零均值白噪声，实验获得输入输出数据见表2.3.1。表2.3.1 实验获得的输入输出数据（见下页） 13t0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5u(t)0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 y(t)0 0.0582 -0.6395 -1.8510 -2.0242 -1.4163 -0.9188 0
6、.3053 2.2938 1.0769 -2.2943 -1.9656t6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5u(t)1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1y(t)0.4587 1.3710 1.8783 0.2454 -1.1223 0.7848 2.4983 2.2147 -0.2424 -1.5523 -0.5707 0.5078 t12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 u(t )-1 -1 1 -1 -1 1 1 1y(t)0.7394 -1.4378 -2.632
7、8 -0.5359 1.4520 -0.4325 -1.2545 1.1510解：首先组成矩阵，然后按式（2-7）求出。下面用 Matlab 语言来做。u = -1; -1; -1; -1; -1; 1; 1; -1; -1; 1; -1; 1; 1; -1; 1; 1; 1; 1; -1; 1; -1; 1; -1; -1; -1; 1; -1; -1; 1; 1; 1 ; % 将u 输入到工作空间y = 0.0582; -0.6395; -1.8510; -2.0242; -1.4363; -0.9188; 0.3053; 2.2938;1.0769; -2.2943; -1.9656;
8、0.4587; 1.3710; 1.8783; 0.2454; -1.1223; 0.7848; 2.4983; 142.2147; -0.2424; -1.5523; -0.5707; 0.5078; 0.7394; -1.4378; -2.6328; -0.5359;1.4520; -0.4325; -1.2545; 1.1510 ; % 将y 输入到工作空间phi = 0; -y(1:end-1), 0; 0; -y(1:end-2), 0; u(1:end-1), 0; 0; u(1:end-2);% 组建Theta = inv (phi*phi) * phi*y % 计算 运行结果为
9、：= -0.5076，0.6075，0.6854，0.7947这与真值：-0.5, 0.6, 0.7, 0.8 相差不大。另外，也可以用Matlab的辨识工具箱获得结果：T = iddata (y, u, 0.5); % 处理数据G = arx (T, 2,2,1) % 调用辨识函数 运行结果为：Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t)A(q) = 1 - 0.5077 q-1 + 0.6075 q-2 15B(q) = 0.6863 q-1 + 0.7947 q-2Estimated using ARX from data
10、set T Loss function 0.00146694 and FPE 0.00190159Sampling interval: 0.5其中 q-i 即为 ,符号 q 就是本书中的符号 z，由此可见，两结果几乎相同。2.3.2 递推最小二乘法特点：计算机内存需要少于批处理法，能实时跟踪参数变化。引理：设A、C 和 均为非奇异方阵，则有证明：用（A+BCD）左乘上式右端，若结果为单位矩阵，则关系式成立。 16当 时，有递推最小二乘公式(2-8)最小二乘模型描述的系统基于 及以前的输出y、 及以前的输入u, 未知参数向量17的最小二乘估计 的递推公式为(2- 9)(2- 10)(2- 11)
11、 其中为增益向量， 为未知参数向量 的估计值。证明：设 是基于 和 的估计，根据批处理最小二乘法有18对于 时的最小二乘估计为式中展开令并视 、 和 分别为式（2-8）中的A、B和D，再考虑 在此为标量，由引理有 (2- 12)19再令 则有 又令(2- 13)即为式（2-10），且式（2-13）可写为它就是式(2-11)。将式（2-11）代入式（2-12），并注意交换标量和矩阵的位置，有 20即为式(2-9)。说明： 21 从式（2-9）看，新的参数向量估计值 为先前的参数向量估计值 加修正项。在不断更新过程中， 、 和 的行列数不变，但它们的旧数据不断被新数据替换； 为增益向量， 为误差的
12、协方差，一般 与 成正 比，协方差越大，说明估计值与真值相差越大，增益向量也会越大， 所 产生的校正作用也越大； 初值 和 的确定：方法一：若有 组数据，则可批处理它们，将结果作为初值，即22方法二： ， 其中 。2.3.3 具有遗忘因子的递推最小二乘法递推最小二乘法缺陷：数据饱和。原因：随 K ，P(k+1)和K(k+1)变小，式(2-9)中的修正能力变弱。后果： 估计值难以接近真值；估计值无法跟踪真值的变化。解决办法：具有遗忘因子的递推最小二乘法。取性能指标函数： 其中W为加权阵，N为数据组数， 为遗忘因子。23按与前面相同的思路，推得具有遗忘因子的最小二乘估计公式为其中说明： 当 时， 该公式组即为递推最小二乘公式； 一般有 ，参数变化快时， 取小点，相反取大些； 初值取法同递推最小二乘法。24
