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1、第四章第四章 河道水流计算河道水流计算水文水文0909级计算水力学教学课件级计算水力学教学课件Leila for 水文09 版权所有调课调课v11月29日下午1-2节（14周2） v调至 v12月12日下午1-2节（16周1），地 点：北教102Leila for 水文09 版权所有课 程 内 容v 蛙跳格式v LAX-Wendroff格式v Abbott隐式格式v Presissmann隐式格式v 四点线性隐格式Leila for 水文09 版权所有xti-1ii+1j-1jj+11. 蛙跳格式离散格式Leila for 水文09 版权所有n-1nn+1tx1. 蛙跳格式Leila for
2、水文09 版权所有1. 蛙跳格式接近二阶精度，保证质量守恒 优点是：所得的结果为锯齿形线，原因是因变量是在奇、偶交替的点上计算的，两组网格点互不相关。 缺点是：Leila for 水文09 版权所有1. 蛙跳格式 该格式的稳定性的必要条件是：其中：U为特征流速C重力波速Leila for 水文09 版权所有2. LAX-Wendroff 格式LAX和Wendroff提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程系统为：Leila for 水文09 版权所有2. LAX-Wendroff 格式 泰勒级数展开：原方程Leila for 水文09 版权所有2. LAX-Wendroff 格式 展开式：
3、二阶精度，显示格式Leila for 水文09 版权所有LAX和Wendroff提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程系统| 预报| 校正xtj+1/2j+1jii-1i+1i-1/2i+1/22. LAX-Wendroff 格式Leila for 水文09 版权所有2. LAX-Wendroff 格式 稳定性分析：Leila for 水文09 版权所有2. LAX-Wendroff 格式 稳定性条件为：是矩阵的特征值Lax-Wendroff 格式的使用。需要初始条件尽可能满足流动方程，格式具有二阶精度，而且是不耗散的，这样，它不会使初始扰动光滑化。对于这一方程A和Q的边界值需用特征线法
4、计算。Leila for 水文09 版权所有稳定性的形象表达FTBS格式xtj+1jii-1i+1特征线Leila for 水文09 版权所有稳定性的形象表达xtj+1jii-1i+1特征线i-2Ct时间步长dt要施加限制Leila for 水文09 版权所有稳定性的形象表达xtj+1jii-1i+1特征线i-2CtVon Neumann稳定性分析Leila for 水文09 版权所有Abbott格式应用的微分方程形式与常用的有所不同，在连续方程中用“存储宽度”的概念，在动量方程中用“计算宽度B”的概念3. Abbott 隐式格式Leila for 水文09 版权所有3. Abbott 隐式格
5、式Leila for 水文09 版权所有3. Abbott 隐式格式jj+1t hhhQQi-2i-1ii+1i+2x 交错网格：hhhxQQLeila for 水文09 版权所有3. Abbott 隐式格式 连续方程离散格式 （i）：i+1ii-1jj+1hQQxtLeila for 水文09 版权所有3. Abbott 隐式格式 动量方程离散格式 （i-1）：ii-1i-2jj+1hhQxtLeila for 水文09 版权所有3. Abbott 隐式格式 方程形式：隐式格式Leila for 水文09 版权所有|差分方程采用追赶法求解。|Abbott格式是无条件稳定的，如果时步长过大时，
6、它的收敛速度较慢。 |不管怎样，这种格式可以在相当大的Courant数下计算仍然保持稳定。在潮汐波计算中，Courant数可取1020，在明渠水流计算中，Courant数可取100。3. Abbott 隐式格式Leila for 水文09 版权所有v由于采用显格式对时间步长dt要施加限制，从而促使有限差分的隐式方法得到发展。本节介绍1960年发展起来的Preissmann隐式方法，其实际是一个四点隐格式，对圣维南方程进行离散，得到以增量表达的非线性方程组，忽略二阶微量简化成为线性代数方程组，可以直接求解。4. Preissmann 隐式格式Leila for 水文09 版权所有4. Preis
7、smann 隐式格式jj+1i+1ixt(1-)(1-) 通用格式Leila for 水文09 版权所有马斯京根法Mjj+1i+1ixt4. Preissmann 隐式格式Leila for 水文09 版权所有4. Preissmann 隐式格式jj+1i+1ixt PreissmannLeila for 水文09 版权所有Preissmann 格式式中：加权系数4. Preissmann 隐式格式Leila for 水文09 版权所有相容性稳定性收敛性弥散、耗散jj+1i+1ixt4. Preissmann 隐式格式Leila for 水文09 版权所有相容性、精度、耗散弥散Leila fo
8、r 水文09 版权所有相加 / 2相加1-相容性、精度、耗散弥散Leila for 水文09 版权所有讨论： =0，时空二阶，弥散为主0，时一阶，空二阶；耗散为主=1 精度？数值效应？=0.50.5等价方程、截断误差Leila for 水文09 版权所有稳定性Leila for 水文09 版权所有时空二阶精度耗散为主，稳定性=1 耗散最大、稳定性最好=0.5 0.5稳定性：精 度：为其他值，为时间一阶，空间二阶精度数值效应：工程实践当中，选择用 =1 弥散为主，波动性 =0.54. Preissmann 隐式格式Leila for 水文09 版权所有四点线性隐格式 5. 四点线性隐式格式Lei
9、la for 水文09 版权所有四点线性隐格式离散：连续方程5. 四点线性隐式格式Leila for 水文09 版权所有其 中：简化形式：5. 四点线性隐式格式Leila for 水文09 版权所有动量方程 5. 四点线性隐式格式Leila for 水文09 版权所有v代入动量方程化简得5. 四点线性隐式格式Leila for 水文09 版权所有其中系数为5. 四点线性隐式格式Leila for 水文09 版权所有v为书写方便，忽略上标n+1，任一河段差分方程写 成：v 其中均由初值计算，所以方程组为常系数线性方程组。对一条具有L2-L个河段的河道，有2(L2-L+1)个未知变量，可以列出2(L2-L)个方程，加上河道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组，可唯一求解未知量 。任一河段差分方程 5. 四点线性隐式格式Leila for 水文09 版权所有QL2 = Q(t)ZL1 = Z(t)
