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1、 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 建立数学模型1.4 生活中的优化问题举例（生活中的优化问题举例（2 课时）课时） 教学目标：教学目标： 1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程教学过程： 一创设情景一创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问优化问 题题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值
2、的有力工具这一节，我们 利用导数，解决一些生活中的优化问题 二新课讲授二新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以 下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数 关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个 过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：
3、利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题优化问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案三典例分析三典例分析 例例 1海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为 xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为128 x。128512( )(4)(2) 12828,0S xxxxxx求导
4、数，得。 2512( )2S xx令，解得舍去） 。 2512( )20S xx16(16xx 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 于是宽为。128128816x当时，0.(0,16)x( )S x(16,)x( )S x因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm，宽为16x ( )S x8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为 16dm，宽为 8dm 时，海报四周空白面积最小。 例例 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的
5、要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获20.8 rr利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是r 3 32240.20.80.8,0633ryf rrrrr令 解得 （舍去） 20.8 (2 )0frrr2r 0r 当时，；当时，0,2r 0fr2,6r 0fr当半径时，它表示单调递增，
6、即半径越大，利润越高；2r 0fr f r当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低2r 0fr f r（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够2 20f瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm 时，利润最大6 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当时，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的3r 30f成本恰好相等；当时，利润才为正值3r 当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于 2cm0,2r 0fr f r时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小2 例例 3磁盘的最大存储量问题磁盘的
7、最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1，中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 这个基本单元通常被称为比特（bit） 。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得m 小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。n 问题：问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间
8、的环形区域RrR （1）是不是越小，磁盘的存储量越大？r （2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？r 解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。设存储区的半径介于与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道rm不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大Rr m存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量2 r n( )f r Rr m2 r n2()r Rrmn（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存rr 储量越大（2）为求的最大值，计算( )f r( )0fr2
9、( )2frRrmn令，解得( )0fr2Rr 当时，；当时，2Rr ( )0fr2Rr ( )0fr因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为2Rr 22 4R mn例例 4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？ 解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积S=2Rh+2R2由 V=R2h，得，则2VhRS(R)= 2R+ 2R2=+2R22V R2V R令+4R=022( )Vs RR 解得，R=，从而 h=23 2V 2V R23()2V V34V 3V 即 h=2R中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源
10、站 http:/ 建立数学模型因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值奎屯王新敞新疆答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省奎屯王新敞新疆变式：变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=Rh22 RRRS 222V(R)=R= RRS 222232 21)2(21RSRRRS)=0 )( RV26 RSRhRRhR222622四课堂练习四课堂练习 1用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比 另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 （高为 1.2 m，最
11、大容积）31.8m5课本课本 练习练习课本课本 P P104104 五回顾总结五回顾总结 1利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题优化问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案2解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过 研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个 有利的工具。 六布置作业六布置作业 课本课本 P P104104 5 5，6 6例例 4汽油的使用效率何时最高汽油的使用效率何时最高 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载
12、，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一wv 定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题：wv（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量GwGsw（单位：L） ，表示汽油行驶的路程（单位：km） 这样，求“每千米路程的汽油消耗量s最少” ，就是求的最小值的问题G通过大量的统计数据，并对数据进行分析、
13、研究，人们发现，汽车在行驶过程中， 汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：gvkm/h）之间有如图所示的函数关系 gf v从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽 油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：gv km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题解：因为 w wgtGssv t这样，问题就转化为求的最小值从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜g vg v 率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为 90/km h 因
14、此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为 90从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即/km h，约为 L 90f 例例 5在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一解法一：设箱底边 长为xcm，则箱高cm，得箱子60 2xh_ x_ x_ 60_ 60xx中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 容积260)(32 2xxhxxV)600( x23( )60
15、2xV xx)600( x令 0，解得 x=0（舍去） ，x=40， 23( )602xV xx并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值奎屯王新敞新疆答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3 解法二解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x) cm，则得箱子容积 （后面同解法xxxV2)260()()300( x一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数、在各自的定义域中260)(32 2xxhxxVxxxV2)260
