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1、 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 1 11 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：教学目标：知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解奎屯王新敞新疆授课类型：授课类型：新授
2、课 奎屯王新敞新疆课时安排：课时安排：2 课时 奎屯王新敞新疆教教 具具：多媒体、实物投影仪 奎屯王新敞新疆第一课时引入课题引入课题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ 把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方 法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节 课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理分类加法计数原理 （1）提出问题 问题问题 1.11.1：用一个
3、大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够 编出多少种不同的号码？ 问题问题 1.21.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车 有 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ （2）发现新知分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有类方案中有m种不同的方种不同的方法，在第法，在第 2 类方案中有类方案中有n种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有nmN 种不同的方法种不同的方法.
4、（3）知识应用 例例 1.1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴 趣的强项专业，具体情况如下：A 大学 B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 分析分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又 由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可 以选择 A , B 两所大学中的一所在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在
5、 B 大学中有 4 种专业选择方法又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原 理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同 学可能的专业选择共有多少种？ 探究：探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有1m种不同的方法，在第 2类方案中有2m种不同的方法，在第 3 类方案中有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何 计数呢？ 一般归纳：一般归纳： 完成一件事情，有 n 类办法，在
6、第 1 类办法中有1m种不同的方法，在第 2 类办法中有2m种不同的方法在第 n 类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN 21 种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相 互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这 件事. 例 2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条？ 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所 以, 第一类, m1 = 12 = 2 条第二类, m2 = 12
7、 = 2 条第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点 A 到顶点 C1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习 1填空：( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人 只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是 ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有条中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 第二课时2 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 （1
8、）提出问题来 问题问题 2.12.1：用前 6 个大写英文字母和 19 九个阿拉伯数字，以1A,2A,，1B,2B,的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码： 我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任 何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 69 = 54 个不同的号码 探究：探究：你能说说这个问题的特征吗？ （2）发现新知分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有类方案中有m种不同的种不同的方法，在第方法，在第 2 类方案中有类方案
9、中有n种不同的方法种不同的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有nmN 种不同的方法种不同的方法. （3）知识应用 例例 1.1.设某班有男生 30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比 赛，共有多少种不同的选法？ 分析分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤第 l 步选男生第 2 步选女生 解解：第 1 步，从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择； 第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择 根据分步乘法计数原理，共有 3024 =720 种不同的选法 探究探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第 1步有1m种不同的方法，做第
10、2 步有2m种不同的方法，做第 3 步有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何 计数呢？ 一般归纳：一般归纳：完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法做第 n 步有nm种不同的方法.那么完成这件事共有中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ nmmmN 21 种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存， 完成任何其中的一步都不能
11、完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的 方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独 完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分 为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤 都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一
12、种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 变式 1，如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许 同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 2 若颜色是 2 种，4 种，5 种又会什么样的结果呢？练习 2现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，
13、高三年级的学生 4 名 ( 1 ）从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 第三课时3 综合应用综合应用 例例 1.1. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放 2 本不同的体育书. 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种
14、不同的取法？ 【分析】 要完成的事是“取一本书” ，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因 此是分类问题，应用分类计数原理. 要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书都只 完成了这件事的一部分，只有第 1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题， 应用分步计数原理. 要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算 机和文艺书各 1 本，再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这 件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这 些选法的种数之间还应运用分类计数
15、原理. 解解： (1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书， 有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123Nmmm=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123Nmmm=432=24 .（3）26232434N。 例例 2.2. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位 置，问共有多少种不同的挂法？ 解：从
