《新人教A版高中数学（选修2-2）3.1《复数的概念》word学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教A版高中数学（选修2-2）3.1《复数的概念》word学案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复数的概念 一、学法建议：1、本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别 要明确：实数也是复数，要把打复数与虚数加以区别，对于纯虚数 bi(b0， 不要只记形式， 要注意 b0，如 0i=0 是实数，而不是纯虚数，初学复数时最易在这里出错。2、复数 z=a+bi(a、 是由它实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数 问题转化成实数问题的主要方法，要很好的掌握之，此外要明确由一个复数等式可得到两个实 数等式这一性质，并在解题中会运用它。3、对于复数 z=a+bi(a、 ，即要从整体的角度去认识它，把复数 z 看成一个整体；又要 从实部、虚部的角度分解
2、成两部分去认识它；这在今后的解题中常会遇到，要逐步加以理解。4、复数与点及向量均建立了一一对应关系，这两种对应关系是把复数给以几何解释的依 据，学习时要注意从不同角度认识并分析复数问题，以便寻找最佳的解题途径。5、复数与点的一一对应，使复数问题与解析几何问题相互转化，如果复数的实部与虚部 是一对实变量，那么对应的点在平面上就是动点，如果复数变量按某种条件变化，那么复平面上 对应点就构成具有某种特征的点集合或轨迹，这样就把数与形有机地结合起来了。6、复数与向量的对应，使复数的运算与向量的运算得以统一，进而解决一些有关长度与 夹角的问题，后面的学习中会逐步加以认识。 二、例题分析：第一阶段 例 1
3、思路分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数，由于所给复数 z 己写成标准形式，即 z=a+bi(a、 ，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。解答： 例 2己知关于方程 x 的 x2+(k+2i)x+2+ki=0 有实根，求这个实根以及实数 k 的值。思路分析：方程的实根必然适合方程，设 x=x0 为方程的实根，代入整 理后得 a+bi=0 的形式(a、 , 由复数相等的充要条件，可得关于 x0 与 k 的方程组，通过解方程组便可求得 x0 与 k. 解答： 设 x=x0 是方程的实根，代入方程并整理得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0第二阶段
4、例 3己知关于 t 的一元二次方程 t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,(x,y R)（1）当方程有实根时，求点(x、y)的轨迹方程。（2）求方程实根的取值范围。思想分析：（1）本题与例 3 相比，方程中有 t、x、y 三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个 等式，而结论是要求动点(x,y)的轨迹方程，联想到解析几何知识，求(x,y)的轨迹方程就是求关于 x、y 的 方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数 t,问题得解。（2）由上面解答 过程中的知 x-y+t=0 可看作一条直线，由知(x-1)2+(y+1)2=2 是一 个圆，因此求实根 t 的范围可转化为直线与
5、圆有公共点的问题。解：（1）设实根为 t,则 t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0即(t2+2t+2x y)+(t+x-y)i=0由得 t=y-x 代入得（y-x)2+2(y-x)+2xy=0即(x-1)2+(y+1)2=2所求点的轨迹方程为(x-1)2 +(y+1)2=2,轨迹是以(1,-1)为圆心， 为半径的圆。(2)由得圆心为(1,-1),半径 r= ，即t+22，-4t0故方程的实根的取值范围为-4,0 例 4己知 x、y R 若 x2+2x+(2y+x)i 和 3x-(y+1)i 是共轭复数；求复数 z=x+yi 和 思路分析：若两上复数 a+bi 与 c+di 共轭，则 a
6、=c 且 b=-d 由此可得到 关于 x、y 的方程 组。解答：第三阶段 例 5己知 a R,问复数 z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i 所对应的点在第几象限？复数 z 对应点的轨迹 是什么？思路分析：根据复数与复平面上点的对应关系知，复数 z 对应的点在第几象限，与复数 z 的实部和 虚部的符号有关，所以本题的关键是判断(a2-2a+4)与-(a2-2a+2)的符号。求复数 z 对应点的轨迹问题，首先把 z 表示成 z=x+yi(x、y R)的形式，然后寻求 x、y 之 间的关系，但要注意参数限定的条件。解：由 a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a-1)
7、2-1-1得 z 的实部为正数，z 的虚部为负数，复数 z 的对应点在第四象限。消去 a2- 2a 得 y=-x+2(x3） ，复数 z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为 y=-x+2(x3） 例 6关于 x 的方程(4+3i)x2+mx+(4-3i)=0 有实根，求m的最小值.思路分析：关于 x 的方程有实根，可把 x 看成实根代入方程，这里未指明 m 是实数,还是虚数，只能 把 m 看做复数，一种想法是设 m=a+bi 去处理，运算较繁，另一种想法是把 m 分离出来，再求其模的表 达式。解答： 显然方程的根 x0 把原方程化为: 三、练习题： 1、 “复数 a+bi(a、b R)为纯虚数”
8、是“a=0“的( )条件A、充分但不必要 B、必要但不充分 C、充要 D、既不充分又不必要 2、若（x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是( )A、1 B、-1 C、1 D、-1 或-2 3、己知关于 x 的方程 x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0 有实根，则纯虚数 m 的值是( )4、设 A、B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z=(cotB-tanA)+i(tanB-cotA)对应的点位于 复平面的( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5、若 x-2+yi 和 3x-i 互为共轭复数，则实数 x、y 的值是( )A、 x=3,且 y=3
9、 B、x=5 且 y=1 C、x=-1 且 y=-1 D、x= -1 且 y=17、复数 z=1+cosa+isina 的模为( )8、使不等式 m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10 成立的实数 m 的取值集 合是_ 9、复数 z=x+3+i(y-2).(x、y R),且z=2，则点（x,y)的轨迹是_ 10、己知(1+i)m2+(7-5i)m+10-1 4i=0,则实数 m=_ 11、己知 M=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,N=-1,3,M N=3,则实数 a=_ 12、解答题14、关于 x 的方程 a(1+i)x2+(1+a2i)x+a2+i=0(a R)有实根，求 a 的值及方程是实根四、参考答案：15 A A B B D来67 C B8、39、以（-3，2）为圆心，2 为半径的圆10、-211、-112：（1） （2）z=-1 或 z=-1+3i13、14、 (1)当 a2-10 时，有 x=1,代回原方程得 a2+a+1=0 无实根(2)当 a2-1=0 时，若 a=1 则 x2+x+1=0 无实根.
