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1、 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 第一章第一章 解三角形解三角形1 11 11 1 正弦定理（正弦定理（第一课时）教学目标教学目标 知识与技能：知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的 实践操作。 情感态度与价值观：情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处
2、理解三角形问题的运算能力；培养学生 合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等 知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程教学过程 .课题导入课题导入 如图（1）固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 CABCAB图（1） 图（2） 思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ .讲
3、授新课讲授新课 探索研究探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等式关系。如图（2）在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, 则 从而在直角三角形 ABC 中，有 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 证法一： 证法二： 证法三：中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相
4、等，即 理解定理理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即a= ,b= ,c= ; (2) ;: :a b c （3）等价于， 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。 练习：练习：已知ABC 中，则= 例题分析例题分析 例 1在中，已知，解三角形。0045 ,30 ,10ABc例 2在中，已知，解三角形045 ,2,2Aab中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，
5、无须注册！中小学教育资源站 http:/ 练习：1. 在中，已知，求 a、b0075 ,45 ,3 2ABc2. 在中，已知，求 B、C045 ,2,6Aab3. 在中，已知,解三角形018,20,150abA评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。例 3.仿照正弦定理的证法 1，证明，并111sinsinsin222ABCSabCbcAcaB运用这一结论解决下面的问题：（1）在中，已知,求；02,3,150abCABCS（2）在中，已知,求 b 和；0010,45 ,30cACABCS（3）证明正弦定理探究：由例 2 思考： 已知两边 a、b 和一边的对角 A,求角
6、 B 时，若 A 为锐角，有几种情形？画出草图bACbACbACbAC中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 若 A 为钝角呢？不解三角形判断下列三角形解得个数（1）07,14,30abA（2）030,25,150abA（3）06,9,45abA（4）09,10,60bcB.课堂练习课堂练习 第 8 页练习第 1 题。 .课时小结课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ； 变式： ；面积公式： （2）正弦定理的应用范围： ； 。 .课后作业课后作业 第 10 页习题 1.1第 1（1）、2（3）题。同步导学1 11 11 1 正弦
7、定理（正弦定理（第二课时）教学目标教学目标 知识与技能：知识与技能：掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理研 究斜三角形中的一些问题和解决一些简单的测量问题。 教学重点教学重点 正弦定理的运用。 教学难点教学难点 正确运用正弦定理研究相关的数学问题。中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 一。回顾旧知 1.正弦定理： 2.2.正弦定理的变形：（正弦定理的变形：（1 1） ；（；（2 2） ；（；（3 3） 3.面积公式： 。 4.三角形解的情况：阅读课本第 9、10 页的例 3、4、5二。典例分析： 题型一：判断三
8、角形的形状例 1. 在中，若已知,判断三角形的形状。（对应例 4）coscosaAbB：在中，已知,试判断的形状。ABC22tantanaBbAABC题型二：正弦定理与三角变换的综合应用例 2.在中，已知 AC=2,BC=3,cosA=,ABC4 5(1)求 sinB 的值；(2)求的值。sin(2)6B例 3。在中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 c=10,求ABCcos4,cos3Ab Baa、b 及 的内切圆半径 r,外接圆的半径 R.ABC中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 三、易错点例 4.在 中，若 B=,A
9、B=,AC=2,求的面积ABC0302 3ABC课后思考 1：已知的三边各不相等，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且ABC ，coscosaAbB求的范围ab c思考 2：已知锐角中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，设 B=2A，ABC求的取值范围b a作业：1、在 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若ABC,2 52,cos425BaC求的面积ABC2、在 中角 A、B、C 所对的边分别ABC为 a、b、c，求 A、B 及 b、c22 3,tantan4,sinsincos,222ABCAaBC1.1.21.1.2 余弦定理余弦定理教学目标教学目标知识与技
10、能：知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 情感态度与价值观：情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明
11、过程中的作用。教学过程教学过程 .课题导入课题导入如如图所示，两游艇自 O 处同时出发，一艘以 10km/h 的速度向正东方向行驶，另一艘以6km/h 的速度向北偏西方向行驶，30min 后两游艇之间的距离为多少？030o问题探究：上述情境中蕴含了什么数学知识？如何用语言描述？又如何用数学语言表示？.讲授新课 探索研究探索研究 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 问：在上节中，我们用什么向量知识得到了正弦定理？ 证明：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它 们的夹角的余弦的积的
12、两倍。即们的夹角的余弦的积的两倍。即 ；。 探究：已知中，则 A= ;B= .ABCsin:sin:sin2:6 :( 31)ABC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否 由三边求出一角？ （由学生推出）余弦定理又可以下写成如下形式：中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ ； 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例题分析 例 1在ABC 中，已知，求 b 及 A045B 分析：求 b 只能用正弦定理，求出 b 后求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：练习：完成引入和探究例 2在ABC 中，已知，判断ABC 的类型。结论结论：已知三边 a、b、c 判断三角形形状的方法A 为直角 A 为锐角 A 为钝角中
