质点力学(4-7)

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1、定义: 功等于力与位移的标积。 1-4 动能定理 机械能守恒定律一、功 功率1） 恒力的功在国际单位制中，功的单位是焦耳J。即 功等于力沿路径的线积分。是力的空间积累。 ab2) 变力的功微分形式在直角坐标系中：abos功在数值上等于 图曲线下的面积。3）功的几何意义：某质点同时受的作用,则合力的功为:结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和。注意：1、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正负。3、合力的功为各分力的功的代数和。4) 合力的功设 m1、m2 组成一个封闭系统 or1r2m1m2dr1dr2r12F2F1这一对力在dt 时间内所做的功为:5) 作用

2、力和反作用力做功之和所以，瞬时功率等于力与质点速度的标积单位：瓦特 W6) 功率 力在单位时间内所作的功例1 作用在质点上的力为在下列情况下,求质点从处运动到处该力作的功：(1). 质点的运动轨道为抛物线(2). 质点的运动轨道为直线解: 由题意可知,质点在(xy)平面运动所以有: xyOabxyOab做 功 与 路 径 有 关例2、质量为2kg的质点在力(SI) 的作用下，从静止出发，沿x轴正向作变速直线运 动。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）例3、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面 ，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的 功是多少？解：取地心为原点，引力与矢径

3、方向相反abhRorF典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力、静电力.典型的耗散力： 摩擦力 磁力某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。或定义为：质点在某力的作用下沿任意一闭合回路运动一周做功为零。即：这种力就是保守力。7）保守力做功 保守力与非保守力做功与路径有关的力称为非保守力（耗散力）。m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.可见，重力是保守力。初态量末态量重力的功两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点, M 指向 m 的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力。rabrFMmdrabr引力的

4、功可见，弹性力也是保守力。弹簧x自然长度xFo.a.b弹力的功ab式中Ep(a) 、 Ep(b) 分别为a、b两位置对应的势能。二、势能和势能曲线在保守力的作用下，质点从ab，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数-势能函数. a点的函数值减去b点的函数值，为从a b保守力所做的功，1. 势能选参考点（势能零点），设质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。重力势能（以地面为零势能点）引力势能（以无穷远为零势能点）弹性势能（以弹簧原长为零势能点）几种典型的保守力的势能公式：注意：1、只有保守力的系统，才可引入相

5、应的势能。2、计算势能必须规定零势能参考点。3、势能仅有相对意义，它与零势点的选取有关。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有。保守力沿某一给定的 l 方向的分力等于此保守力相应的势能函数沿l 方向的空间变化率。保守力所做元功势能是保守力对路径的线积分2. 势能与保守力的关系 FlA质点在某点所受的保守力等 于相应势能梯度的负值。勃勒算符 （微分矢量算符）势能是位置的函数，用EP ( x,y,z)表示，称为势函数几种典型的 势能曲线:（d）原子相互作用 势能曲线势能曲线: 势能随 位置变化的曲线.（a）重力势能曲线（b）弹性势能曲线（c）引力势能曲线hEpO(a)xE

6、pO(b)rEp O(c)r0EpOr原子相互作用 势能曲线(d)3、势能曲线1、指出了质点在轨道上任意位置所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力的大小 。斜率为正,Fr 沿r 的负方向; 斜率为负, Fr 与r的方向相同; 斜率为零,即Fr=0.(曲线处在极大或极小值)势能曲线提供的信息势能曲线取极小值的 平衡位置是A点稳定平衡势能曲线取极大值的 平衡位置是B点不稳定平衡3、势能曲线有极值时， 质点处于平衡位置。4、设系统机械能守恒，用势能曲线还可分析质点的运动范围. 势井势垒例4 有一保守力 F = (-AxBx2)i，沿 x 轴作用于质点 上，式中

7、A、B 为常量，x 以m计，F 以 N计。 （1）取 x =0 时EP = 0，试计算质点在任意位置处所具有的势能； （2）求质点从x = 2m运动到 x =3m时势能的变化。 解：质点的动能:质点的动能定理 :质点受外力作用运动状态变化动能变化abdS Fvt三、动能 动能定理1). 质点的动能及动能定理 :功是质点动能变化的量度过程量状态量末态动能初态动能外力做正功,动能增加；外力做负功,动能减少。动能定理确定了过程量与状态量的增量之间的关系.合外力对质点所做的功等于质点动能的增量质点系统的动能因为 已证明了系统内力 做功之和为所以质点系中的内力 做功之和不一定为零.因此质点系的动能定理:

8、 合力对质点系所做的总功等于质点系总动能的增量。 2）质点系的动能定理质点系的动能定理质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统非保守 内力的功的总和等于其机械能的增量。1) 质点系的功能原理四、 机械能守恒定律称为功能原理那么，系统的机械能保持不变.在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。 机械能守恒定律2) 机械能守恒定律例5 一质量为m=2kg的物体从静止开始，沿四分 之一的园弧从A滑到B。测得物体在B处的速度v=6m/s, 已知园弧的半径为R=4m。问：物体在下滑过程中 摩擦力做的功是多少？解： 物体在下滑过程中有摩擦力和重 力做功，改变物体的动能。根据动能定理有：负号表示

9、摩擦力做负功。例6 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如下图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为，最初m1静止于A点，ABBCh，绳已拉直，现令滑块m1落下,求它下落到B处时的速率联立上述两式，得:解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长h为弹性 势能零点. 滑块2与桌面间的摩擦力做功。式中l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则 则由功能原理，有此题也可用牛顿运动定律求解。实际上功能原理是由牛顿运动定律导出的，只是 运用功能原理解题时不需考虑中间变化过程。因 而，运用功能原理解题比运用牛顿运动定律解题 方便

10、得多。例7 设地球半径为R 。一质量为m的物体，从静 止开始在距地面 R 处自由下落。求：它到达地球 表面时的速度。由机械能守恒定律：GM=vRGMmGMm R22 21=+R0+mvMRRmab地球解：系统只有保守内力做功，所以机械能守恒例8 一链条，总长为l ，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为a，如图所示。假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。 ala解：选桌面为零势能点。地球和链条组成的系统,只有重力做功。因此， 系统机械能守恒。想一想：若桌面不是光滑的、 摩擦系数为。该怎样做？ 请同学们自己完成。ala1-5 冲量与动量元冲量一、动量、冲量质点系的动量质点的动量力的冲量

11、xxIF=dttt21yyIF=dttt12冲量是一个过程量，描写的是在t1 到t2 这段 时间间隔内,力的时间累积作用。动量（描述质点运动状态，矢量）yzIzF=dttt12作用于质点上的合外力的冲量等于质点动量的增量 质点的动量定理动量定理的积分形式二、质点的动量定理动量定理的微分形式元冲量(4) 动量是状态量，而冲量则是过程量。动量定理给出了过程量与状态量之间的关系。在应用动量定理时要注意以下几点： (2) 具有因果关系。冲量是原因，动量增量是结果。(3) 冲量在某方向的分量只改变该方向上的动量。其分量表示式：(1) 它仅适用于惯性系，表达式中的v 必须对同一惯性系。动量定理变为：则平均

12、冲力：Fttt120F平均冲力：定义：在相同时间内，若有一恒力的冲量与一变力的 冲量相等。则这一个恒力称为这一变力的平均冲力。 即当恒力与变力满足：设由两个质点组成的系统：m1、m2受外力：受内力：对质点“1”对质点“2”m1 m2内力是成对出现的三、质点系的动量定理一般言之：设系统有n 个质点，则：动量定理的微分形式.令:或:则有:动量定理的积分形式.质点系的动量定理:质点系所受外力的总冲量等于质 点系的总动量的增量注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量.内力只能改变质点系个别质点的动量，不能改变质点系的总动量。若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量保 持不变。-质点系的动量守恒定律

13、如果则有则有: :四、质点系的动量守恒定律1) 使用时要注意动量守恒定律的条件. 动量守恒定律中各质点的速度必须相对于 同一惯性系.2) 动量守恒并不意味着系统内各质点的动量保持不 变.内力能改变系统内各质点的动量.运用动量守恒定律时要注意以下几点:若系统所受的合外力不等于零，但在某个方向的合外力为零，则这个方向的动量守恒。3）动量守恒式是矢量式，在应用时常用其分量式：45o30onv2v1解：取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力 影响。设挡板对球的冲力为 则有：例1 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且

14、它们与板面法 线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。取坐标系，将上式投影，有 ：为平均冲力与x方向的夹角。（1）球得到的冲量（2）球得到的平均冲力45o30onv2v1yx此题也可用矢量法解45o30onv2v1yxox证明：取如图坐标，设t 时刻已有x长的柔绳落至桌面 ，随后的dt 时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以 dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：例 2 一质量均匀分布的柔软细绳竖直 地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面 上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌 面上。试证明：在绳下落的过

15、程中，任 意时刻作用于桌面的压力，等于已落到 桌面上的绳重量的三倍。根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力 F = -F 即：而此时已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L所以 F总=F +mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mgox目录mML例3 人与船的质量分别为m 及M，船长为 L ，若人从船尾走到船头。试求船相对于岸 的位移。（忽略水对船的阻力）船和人组成的系统动量守恒。建立如图示的坐标。即 由动量守恒:mMx Lulv因此不管人的行走速度如何变化,结果是相同的。设人相对于船的速度 为u,船相对于岸的速 度为v .ox解：例4、如图,车在光滑水平面上运动。已知m、M、 人

16、逆车运动方向从车头经t 到达车尾。 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动， 上述结论如何？ 解：以人和车为研究 系统，取地面为参照 系。水平方向系统动 量守恒。1、2、3、五、碰撞物体在短时间内发生强相互作用的过程。碰撞过程的特点：弹性碰撞：Ek=0碰撞过程中两物体的机械能（动能）完全没有损失。 非弹性碰撞： Ek=M+m Mtgarctg u 例4 一质量为m 的球，从质量为M的圆弧形槽中自 静止滑下，设圆弧形槽的半径为R（如图）。若所有摩擦都可忽略，求小球刚离开圆弧形槽时，小球 和木块的速度各是多少？MRMmRgmmv212=MV212+0=+m vMV解：设m 刚离开圆弧轨道时的速度为 vM 的速度为V .由题意可知,整个过程系统 机械能守恒.(选地面为零势点)系统水平方向动量守恒;联立解之得：MR Mm例6 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h 19.6m处炸裂成质量相等的两块