极射赤平投影在构造地质学应用

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1、极射赤平投影在构造地质学中的应用 极射赤平投影 (Stereographic projection)简称赤 平投影，它主要用来表示线和面的方向、相互间的角距 关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素 (线、 面)反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、 直观的计算方法，又是一种形象，综合的定量图解，所 以，广泛应用于天文、航海、测量、地理及地质科学中 。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和 应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质 构造的一种有效手段。 赤平投影本身不涉及面的大小、线的长短和它们 之间的距离，但它配合正投影图解，互相补充，则有利 于解决包括角距关系在内的

2、计量问题。Date1第一节 极射赤平投影 的基本原理 一、投影要素 极射赤平投影 是以圆球体作为投影工具，其进行投影 的各个组成部分称为投影要素(图1一1)，包括: 投影球 (投射球)以任意长为半径作成的球，投影球表 面称为球面; 赤平面过投影球球心的水平面，即赤平投影面; 基圆赤平面与投影球面相交的大圆(NESW)，或称赤 平大圆，圆内标有东西和南北直径线; 极射点球上、下两极的发射点，由上极射点 (P)把下 半球的几何要素投影到赤平面上的投影称下半球投影，反之 以下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影 称为上半球投影。 下面介绍平面和直线的赤平投影 (本书采用下半球投影) 。

3、Date2 二、平面和直线的投影解析 (一)平面的投影 1.过球心的平面的投影 通过球心的平面无限伸展，必 与球面相交成一个直径与投影球直径相等的大圆。 直立平面为一直立大圆 (图1A中SPNF); 水平平面为水平大圆即基圆); 倾斜平面为一倾斜大圆(图1A中SANB)。上述球面大圆 上的各点与极射点 (P)的连线必然穿过赤平面，在赤平面上 这些穿透点的连线，即为相应大圆的极射赤平投影，简称大 圆弧。 极射赤平投影的一个重要性质是:球面大圆投影在赤平面上仍 为一个圆。如图2中，球面大圆ASBN赤平投影后的 ASBN为一个圆。Date32.不过球心的平面的投影 不过球心的平面无限伸展，则与球面相

4、交 成一个直径小于投影球直径的小圆。直立平面为 直立小圆(图3A中AB);水平平面为水平小圆 (图4);倾斜平面为倾斜小圆 (图3A中 FG);球面小圆投影在赤平面上仍为一个 圆。如图3 ，球面小圆FG投影后为FG ， 小圆;AB投影后成AB 小圆。球面小圆水平，投 影后是基圆的同心圆(图4)。直立小圆，投 影后下半球部分是基圆内的一条圆弧，上半球部 分位于基圆外。Date4 小圆倾斜，投影后可以是出现以下几种情况:(1).全部位于基圆内(球面小圆全部位于下半球 );(2).部分在基圆内，部分在基圆外 (球面小圆切 过上、下两个半球);(3).全部位于基圆外 (球面小圆位于上半球)。 半径角距

5、相等的球面小圆，由于所在位置不 同;投影后在赤平面上，大小变化很大，愈近基圆 圆心面积愈小，愈远离基圆圆心面积愈大 (图 5)。Date5 任何通过极射点 (P)的球面大圆的赤 平投影为一条直线 (图6)。 必须注意:球面上的大圆或小圆投影 到赤平面上的圆的投影圆心 (R)与作图圆 心(C)是互相分离的 (图3);只有水平 的球面小圆投影后，R与作图圆心 (C)才 重合在基圆的圆心O点上 (图4)。并 且赤平面上投影圆的投影圆心 (R)与基圆 圆心O愈远，则R与C分离愈大。Date6(二)直线的投影 通过球心的直线无限伸长必相交于球面两 点，称极点。铅直线交于球面上、下两点;水平 直线交于基圆

6、上两点;倾斜直线交于球面相应两 点。这些交点与极射点 (P)的连线穿过赤平面 的穿透点称直线的赤平投影点。铅直线投影点 位于基圆中心，水平直线的投影点就是基圆上 两个极点，两点距离等于基圆直径，倾斜直线 的赤平投影点有一点在基圆内，另一点在基圆 外，两点呈对跖点，在赤平投影图上角距相差 180 (图7)。Date7三、投影网 目前广泛使用的投影网有吴尔福网 ( 简称吴氏网)，又称等角距投影网;施密特 网(简称施氏网)，又称等面积投影网。这 两种网各有特点，但用法基本相同。 (一)吴氏网及成图原理吴氏网 (图8)由基圆(赤平大圆)、 经向大圆弧 (如NGS) 。纬向小圆弧 (如 ACB)等经纬线

7、组成。标准吴氏网的基圆直 径为20cm，经、纬度间距为2使用标准投 影网误差可以不超过半度。Date8 1.基圆 标有0360的位角，其指北方向(N)为0 ，用来量度被测量方位的方位角。 2.经向大圆弧 经向大圆弧是通过球心、走向南北 ，分别向西或东倾斜的平面与球面交线的投影，投影图 上标有倾角由0到90的许多平面投影大圆弧。这些大圆 弧与东西直径线的各交点到直径端点 (E点和W点)的距 离分别代表各平面的倾角值。如图I8A中GW表示了 NGS所代表的平面向西倾斜，倾角是30 。 3.纬向小圆弧 纬向小圆弧是不通过球心、走向东 西的直立平面与球面交线的投影。这些小圆弧离基圆圆 心愈远，表示球面

8、小圆的半径角距就愈小，反之离圆心 愈近，则半径角距就愈大，即直立小圆与球心相连而成 的圆锥顶角随直立小圆愈近球心而增大 (图I 8)。纬向 小圆弧分割南北直径线的距离与经向大圆弧分割东西直 径线的距离相等，即在图I一8A中EDSh=WGNF， 都代表30 角距。Date9(二)吴氏网与施氏网的主要区别 球面上大小相等的小圆，投影在吴氏网上呈圆或 圆的一部分。半径角距相等的投影小圆，其面积由基圆 圆心至圆周方向逐渐变大 (见图I5);而投影在施氏网上 呈四级曲线，除特例情况成同心小圆外，基本上貌似椭 圆，但四级曲线构成的图形面积相同(图I9)，而且是 近于球面小圆面积的二分之一。 通常，在求解面

9、、线间的角距关系方面，侧重于用 吴氏网，因为吴氏网上反映 各种角距比较精确，而且 作图方便，尤其在图上直接作小圆轨迹表示旋转操作方 面更显示其优越性;缺点是相同角距的投影面积变化很大 。在研究面线群统计分析 (作极点图和等密图)进而探讨 组构问题时，多用施氏网，因为施氏网上比较真实地反 映了球面上极点分布的疏密，从基圆圆心至圆周，具有 等面积特征;其缺点是球面上大圆和小圆的赤平投影都不 是圆，作图麻烦，尤其是绕倾斜轴作直接旋转的投影一 般难以实现。Date10 为了便于投影大量极点 (直线或平面法线)，上 述两种网又可改换成为同心圆(水平小圆)和放射线 ( 直立大圆)相组合的图形，即极等角度网

10、和极等面积 网(赖特网)(图I10)。利用这种网，可以把一个产 状数据倾向和倾角，一次投成 (放射线量方位角 ，同心圆量倾角)，但这种网只宜作投点统计用，不 能分析几何要素间的角距关系。 由于施氏网是等面积网，可用基圆直径的十分 之一相当于大圆面积的百分之一的圆孔顺次进行 统计;而吴氏网不是等面积网，要配合普洛宁网 (见 附图22)进行统计，以避免角距和密度的误差太悬殊 。 应当指出，本篇虽是着重介绍吴氏网的应用， 但除了在投影网上涉及直接作小圆的问题外，其他 方面施氏网都是适用的。 Date11图I9大小相等的球面小圆用施氏网投影在赤平面上面积相等， 但形状不同 (据B.E.Hobbs等，1

11、976)Date12Date13第二节 赤平投影网的使用方法 首先把透明纸 (或透明胶片等)蒙在吴氏网 占，画出基圆及 “十”字中心，并用针固定于网 心上，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标出 E、S W、N，以正北 (N)为0，顺时针数至 360。东西直径定倾角，由圆周的0至圆心的 90。另外，尚有其它的操作习惯，如使投影 网转动而透明盖纸不动，或投影网上指北标记 不在正上方或东西标记与地理方位相反的标法 ，所以在看参考书时需要注意。Date14一、平面的赤平投影例:一平面产状120 30 。 (1)将透明纸上指北标记与网上N重合，以N为0;顺时针数至 120得一点为倾向，与倾向垂直过圆心的直

12、径AB为平面的走向(图 11A); (2)转动透明纸使120倾向的该点移至东西直径上，由圆周向圆心数 30，得C点，通过C点描绘经向大圆弧 (图11B中ACB); (3)把透明纸的指光标记转回到原来的指北方向，此时弧凸所指方向 及凸度大小即为平面120 30 的产状 (图11C)。图11C 平面的赤平投影Date15二、直线的赤平投影 例:一直线产状330 40 。 (1)将透明纸上指北标记与网上N重合，以N为0，顺时针数 至330 ，(北西象限)，为该直线倾伏向(如图12A); (2)把该点转动至东酉直径上 (转至南北直径上也可)对直线投 影，由圆周向圆心数40 ，并投点 (图12B 、C中

13、A点)； (3)把透明纸的指北标记转回到原来指北方向，该点即为该直 线的赤平投影 (图12C)图12C 直线的赤平投影 Date16三、法线的赤平投影 是指平面法线的产状。平面及其法线的投影常常互为 使用，只要注意到二者互相垂直，夹角相差90 ，这样，投 影操作就比较容易。由于法线投影是极点，平面投影是圆弧 ，所以往往用法线投影代表与其相对应的平面投影，就较为 简单。 例:求一平面产状9040。的法线投影 (图13) 。 (1)透明纸上指北标记与网上N重合，以N为0顺时针数 至90，正好在东西直径的E点，过该点由圆周向圆内数40 ，得D点，为平面倾斜线产状的投影。若继续数90，显然 已越过圆心

14、进入相反倾向，得F点，该点即为该平面法线产 状; (2)也可沿90的反方向即以圆心向反倾向数至40即得该 法线产状。因为从圆周数起和从圆心反向数起正好差90 。 上述单一面、线的投影方法是利用赤平投影研究线与线 、线与面、面与面相互关系的基础方法。Date17四、求相交两直线构成的平面产状 例:两直线产状为18020和12036，求所构成的平面 产状 (图14)。 (1)据作法二，透明纸上分别画出两直线产状，得F、D两极 点; (2)因为两相交直线可构成一个平面，转动透明纸，使F、D 两点位于同一大圆弧上，并将此大圆弧 (即经度线)(图14B)绘 于透明纸上，它代表该平面产状，在弧凸中心川点示该平面倾角 (36)，即该平面与水平面的最大夹角; (3)把透明纸的指北标记转回到与网北重合的位置，此时由 圆心过D点连至圆周上D 点，并从北开始，顺时针方向数至D点，即为该平面的倾向方位 角 (120)Date18五、求相交两直线的夹角及其平分线例:同作法四， (图14) 。 (1)据作法四中(1)、(2)，得D、F构成的大圆弧 (产状正好 12036); 最大圆弧上D与间的角