四年级数学《幻方与数表》教师版

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1、1四年级四年级幻方与数表幻方与数表教师版教师版知识要点知识要点一、一、如果一个如果一个的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个nn 方阵称为方阵称为阶幻方。阶幻方。n 二、二、在在阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。n对于对于行或者行或者列，其和为幻和乘以列，其和为幻和乘以，也等于所有，也等于所有个数的和；所以，幻和个数的和；所以，幻和。nnn2n2nSn一一用用 、这这个数构造个数构造阶幻方

2、，其幻和为阶幻方，其幻和为；122n2nn2212(1) 2nnn n用用 、 、 、这这个数构造个数构造 阶幻方，阶幻方，12345678993其幻和为其幻和为。21234567893 (13 )1532三、三、对于对于阶幻方，当阶幻方，当分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中nn 心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。中心数等于幻方中所有中心数等于幻方中所有个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中个数

3、的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中个数的平个数的平2nn均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数。22nSn一一 n一一用用 、这这个数构造个数构造阶幻方，其中心数为阶幻方，其中心数为。122n2nn21 2n用用 、 、 、这这个数构造个数构造 阶幻方，其中心数为阶幻方，其中心数为。1234567899321352四、四、在在 阶幻方中，阶幻方中，、32222aibhcgdfe2fha2dhc2bfg。2bdiihgfedcba五、五、若一个若一个的方阵的方阵是是阶幻方，则方阵阶幻方，则方阵也是也是阶幻

4、方。阶幻方。nn1111nnnnaaaan1111nnnnabcabcabcabcn 与 与 与 与 与与 与 与 与2幻方幻方【例例 1】 请将请将、这这个自个自2009201020112012201320142015201620179 然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的 个数之和相等。个数之和相等。 （只要（只要3 构造出一种）构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014 201520132011 201220172010201420152010 2017201

5、32009 201620112012201020172012 201120132015 201420092016201620112012 201720132009 201420152010201020152014 200920132017 201220112016201420092016 201120132015 201020172012201220172010 201520132011 201620092014【分析】（方法一）第一步求幻和：3幻和为；(200920102011201220132014201520162017)36039第二步求中心数：中心数为；603932013 第三步确定

6、个角上的数：用尝试法，可推出个角上的数只能为偶数；44 第四步求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出 个基本解；1 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共 解。8 答案如图所示。 （方法二）与的 阶幻方相比，每个空格上的数都增加；1 932008 根据的 阶幻方的 个图可以求出原题的答案。答案如图所示。1 938【例例 2】2】 请构造出一个请构造出一个 阶幻方，使其幻和为阶幻方，使其幻和为。 （只要构造出一种）（只要构造出一种）32010【分析】因为 阶幻方的幻和为；32010 所以，中心数为。20103670 与的 阶幻方的中心数相比，1 935 中心数增加了或者放大了67

7、056656705134 或者先增加再放大或者先放大再减小。621015080 根据的 阶幻方的图，1 93 将每个方格上的数“”或者“”或者“先再”或者“先6651346210 再”15080 可以求出原题的答案。 答案如图所示，答案不惟一。 可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻 方。4_640710660700630680690670650835167294一 一 一 一 一 一 一 一+62一 x10一 一 一 一 一 一 一 x150一 80492761538520 1270 22097082070670370112067366867066667167

8、2667674669835167294一 一 一 一 一 一 一 x134一 一 一 一 一 一 一+6654927615384026709388041341072536 1206 268【例例 3】3】 一个一个 阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为，最小的数，最小的数32009 不小于不小于，请试说明，这样的幻方中，请试说明，这样的幻方中个方格中的数全都不相同的有个方格中的数全都不相同的有种，并种，并197094 构造出这构造出这种幻方。种幻方。4【分析】因为每个方格里的数均为自然数； 所以，这个数组成从小到大排列的等差数列的

9、公差为自然数。9 所以，最大的数减去最小的数的差为 的倍数。20098 因为；所以，最大的数减去最小的数的差为 或或或；20091970398162432 所以，符合题意的幻方共有种。4 公差为 的个数：、1920012002200320042005200620072008 ；2009 公差为的个数：、2919931995199719992001200320052007 ；2009 公差为 的个数：、3919851988199119941997200020032006 ；2009 公差为的个数：、4919771981198519891993199720012005 。20095构造成符合题意的

10、 阶幻方如图所示。3199720011981200919931977200519851989200020031988200919971985200619911994200320051995200920011993200719971999200920082007200620052004200320022001【例例 4】4】 （年第六届年第六届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在1997 的方格表中每个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三的方格表中每个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三3 3 数之和

11、都等于数之和都等于吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。1997IHGFEDCBA【分析】如图所示，假设个空格里能分别填上自然数、9ABCDEFG 、。HI 、1997DEF1997BEH1997AEI1997CEG ()()()()()3DEFBEHAEICEGABCDEFGHIE199747988199735991ABCDEFGHI；与是自然数相矛盾。3798859911997E 1997 3E E原假设不成立，不能填入满足题意的个自然数在方格表中。9【例例 5】 （年年 月第九届月第九届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活动六年级决赛）如图所

12、示，小学生思维能力训练活动六年级决赛）如图所示，20083 个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数9 的和相等。现在的和相等。现在和和两个数已给出，那么两个数已给出，那么（ ） 。2976x 2976x52.52976【分析】中心数297610552.522x【例例 6】6】 （第六届（第六届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛）图中有少年数学邀请赛初赛）图中有个方格，要求每个方格个方格，要求每个方格9 中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图中填入不相同的数，

13、使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问图 中左上角的数是多少？中左上角的数是多少？61319?【分析】设表示第 行、第列方格中的数（、 ）ijRCij,1i j 23设中心数，则幻和，22R Cx3x所以，幻和33R C 11223?2?RCR Cxxx 幻和31R C 3233313(2?)? 13R CR Cxxx 幻和13RC 2333319(2?)? 19R CR Cxxx 幻和132231(? 13)(? 19)32? 323RCR CR Cxxxxx 所以，?32216161913x+?-19132x-?19x?2x-?1319xx19?13x+?-13【例例 7】 （

14、年年 月第九届月第九届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛）如图，要小学生思维能力训练活动四年级初赛）如图，要20083 在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的 个数之和都相等，问个数之和都相等，问3 号处应填入的数。要求写出关键的解题推理过程。号处应填入的数。要求写出关键的解题推理过程。86547711109437658658865【分析】设表示第 行、第列方格中的数（、 ） 。ijRCij,1i j 23中心数，1133 2268722RCR CR C；111213132231RCRCRCRCR CR C311112

15、22?6574R CRCRCR C7【例例 8】 （年天津年天津“陈省身杯陈省身杯”国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上2008 合适的数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方合适的数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方 格中所填的数是格中所填的数是。_82018【分析】设表示第 行、第列方格中的数（、 ）ijRCij,1i j 23111213132333RCRCRCRCR CR C331112232081810R CRCRCR C中心数1133 2220101522RCR CR C即图中涂上阴影的方格所填的数为152081718151213 22102081820818101015【例例