《大学数学》辅导讲义稿

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1、大学数学辅导讲义稿贺家顺 2001-9-72001春开放教育计算机专科第二学期总目录 前言 辅导进度 第一章 多元函数的微积分辅导提 纲 第二章 矩阵辅导提纲 第三章 线性方程组辅导提纲 第四章 随机事件与概率辅导提纲 第五章 随机变量及其数字特征辅 导提纲 第六章 统计推断辅导提纲 总复习提纲前言 相信自己的能力，提高学习信心； 加强自学，降低依赖心； 抓住重点，突破难点； 注意学习方法，联系前面所学知识，化 “厚”为“薄”，多看多练； 结合生产、生活，深入书中，其乐无穷 。辅导进度表编 号日期内容12001-9-91。01。522001-9-231。61。932001-10-14第一章复习

2、小结42001-10-212。12。552001-10-282。62。9和第二章复习小 结 62001-11-43。13。372001-11-113。43。5和第三章复习小 结 82001-11-184。14。4和第四章复习小 结 92001-11-255。15。4和第五章复习小 结 102001-12-26。16。4和第六章复习小 结 112001-12-16总复习一122001-12-30总复习二第一章辅导提纲（1）一、学习重点： 1、求偏导数、全微分的方法；复合函数 的微分法和求隐函数的偏导数的方法； 用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。 2、直角坐标系、极坐标系下二重积分的 计算方法 3

3、、曲顶柱体的体积和曲面围成的空间的 体积的求法。第一章辅导提纲（2）二、注意二元函数的微积分和一元函数微 积分的联系、区别注意二元函数的微积分和一元函数微积分联系起来 ，会达到事半功倍的学习效果，但也要几点区别， 不能一概而论；要善于把二元函数的微积分化为一 元函数微积分。二元函数的微积分和一元函数微积 分联系、区别如下表：第二章 矩阵辅导提纲 矩阵及矩阵的运算；逆矩阵和求法； 方阵行列式及计算方法； 线性方程组的克莱姆法则； 矩阵的秩和矩阵的秩的大小判定； 分块矩阵和运算一、矩阵的概念和几种运算1、矩阵的概念A）矩阵、元素和表示；B）n阶矩阵、主对角线、次对角线；C）零矩阵、字母O表示；负矩

4、阵；单位矩阵方阵D）同型矩阵矩阵及矩阵的运算二、矩阵的运算1、矩阵相等；2、矩阵的加法；3、数与矩阵的乘法；4、矩阵的乘法；5、矩阵的转置；三、几种特殊的矩阵（方阵）A）数量矩阵；B）对角矩阵；C）三角矩阵；D）对称矩阵；（乘不封闭）矩阵及矩阵的运算N阶矩阵的行列式 n阶矩阵的行列式的定义；展开； n阶矩阵的行列式的性质；3、5、7、2 推论 n阶矩阵的行列式的计算；（二三阶、 高阶） 方阵行列式定理。NO119第三章 线性方程组辅导 主要内容 求线性方程组的一般解的高斯消元法； 向量的线性运算； 齐次线性方程组的通解的求法； 非线性方程组的通解的求法。第三章 线性方程组1一、高斯消元法 1、

5、基本概念和定理 1）线性方程的一般形式和矩阵表示：不全为零 时，称（*）为非齐次线性方程 组；时，称（*）齐次线性方程组。*如如第三章 线性方程组2矩阵表达式：设则（*）简写为：为增广矩阵A为 系数矩阵；X为未知数矩阵；B为右端矩阵（*）为第三章 线性方程组32）基本定理：P185定理3.1。意义：利用初等行变换把增广矩阵 A|B化为阶梯矩阵简化线性方程组的求解过程。 2、例题与练习 例1：求下列线性方程组的（通）解解法1：1x-1=2,初等解法得 x=1,y=2。解法2：因为系数矩阵 用克莱姆法则：第三章 线性方程组4解法3：高斯消元法最后矩阵相当于方程组注：1）对增广矩阵的初等行变换过程线

6、性 方程同解变形过程 2）可根据最后一个矩阵 直接写出结果第三章 线性方程组5例题2：求下列线性方程组的（通）解注：不能用克莱姆法则解1：即x+y=1,有2-1个自由未知量，一般解为x=1-y, 令y=k,通解为x=1-k，y=k（k为任意实数）。解2：高斯消元法也可写作：第三章 线性方程组6例3：求下列线性方程组的（通）解解法1：得 0= -1，无解解法2：无解注：例1、2线性方程组称为相容线性方程组； 例3为不相容线性方程组。另外，高斯消元法 比克莱姆法则更具有通用性。第三章 线性方程组7 例4：求下列线性方程组的（通）解解：有三个独立的方程，五个未知量，因而有 5-3=2个自由未知量，一

7、般解为：第三章 线性方程组8(令 x4=k1,x5=k2)矩阵表示式由来后面详讲第三章 线性方程组9 二、n维向量及相关定理1、把二维、三维向量推广到n维P195（定义、表示、分量）2、 n维向量的线性运算设为两个同维向量，则n维向量和的矩阵本质相同；一个矩阵可看 作若干个列（行）向量组成。第三章 线性方程组103、相关定义、定理： 1）线性组合（表出）的概念（P198） 2）线性表出的充要条件、组合系数的求法（P199及P200例4）例4设 （以下略）3）向量组的线性相关性和无关性定义、判定定理（不全为零、全为零 ） 4）向量组的极大无关组与向量组的秩的概念和求法、常用线性无关 组注：1)向

8、量组的秩=矩阵的秩2)由于初等行变换不改变向量组 线性相关性，极大无关组由主元 不为零组成（可构成上三角矩阵 ）第三章 线性方程组11三、齐次线性方程组（*）解的结构1、预备知识：线性方程（*）组相容性定理；解的个数定 理。P218、P219 2、齐次线性方程组（*）解的结构 1）平凡解、非平凡解及有关结论P224 2）解的结构基础解系的线性组合、通解3、齐次线性方程组（*）解的非平凡解的求法（P225）例：求下面齐次线性方程组的解的通解第三章 线性方程组12解：由此可见 x4x5为自由元。于是令x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,得解向量原方程组的通解为第三章 线性方程组13 三、非齐次

9、线性方程组（*）解的结构1、有关结论：P2302、解的结构（无穷解时）通解=（*）特解+齐次线性方程组（*）通 解 3、（*）通解求法例4：求下列线性方程组的（通）解第三章 线性方程组14解：因为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=35，所以原方程组有无穷解，且有2 个自由变元 x4 ,x5。令x4 =x5 =0，和x4=1,x5=0和x4=0,x5=1, 可得 1个特解和 相应齐次线性方程组的基础解系通解为第三章 线性方程组15作业：P202 No.1 No.3 P209 No.1 No.7 P217 No.1(1) No.2 P223 No.6 P234 No.1第三篇概率论与数理统计 学习的意义

10、 学习内容： 第四章：随机事件与概率古典实用的概 率论；（古典、与贝努里概型貌 的概率 第五章：随机变量及数字特征用随机变量 刻划随机事件；研究概率。 第六章：统计推断用样本（的数字）特征 推断总体（的数字）特征第四章随机事件与概率4-1一、基本概念 随机现象与随机事件1）随机现象及统计规律2）随机试验及特点：为研究随机的统计规律，表示：E；三个特点3）随机事件及特点： 基本事件（样本点）：随机试验中，每一可能发生的不能再分 解的 基本结果。表示：样本空间：U随机事件：U的子集。表示：A、B、C、D。如：U=1，2，3，4，5，6，A=出现三点=3， B=出现3点或4点=3，4，C=出现偶数点

11、=2，4，6等，是U的子集 为随机事件。第四章随机事件与概率4-2事件的关系和运算(重点是把事件符号化，利于后面的计算）1）事件的包含和相等：2）事件的和：A+B3）事件积：AB（和包含不同）？4）事件的差：A-B5）互不相容事件：（互斥事件）6）对立事件：（和互斥事件不同）7）完备事件组：两两互不相容且和是必然事件第四章随机事件与概率4-3概率及其性质 1）频数、频率、概率的稳定性、概率：P（A） 2）概率的性质频率完全可加性： 两两互不相容，则 第四章随机事件与概率4-4二、古典概型及概率的计算1）古典概型：试验结果个数有限；试验结果出现的可能性相 同；基本事件互不相容。2）古典概型的概率

12、的计算：P（A）=简单算法：P270 例2、例3、例4（1）排列组合算法：例4（2）（3） 概率的运算及法则：复杂事件的概率 简单事件概 率事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数数1） 2）3）4）5）若A1 ，A 2 ，A3 构成完备事件组：P295第四章随机事件与概率4-5三、贝努里概型及概率的计算 事件的独立性：P（A|B）=P（A） 两事件独立 P（AB）=P（A）P（B） 贝努里概型：若 试验E：结果只有两个 ；在相同条件下独 立的重复n次； n 次 试验中 事件A恰好发生k次的概率：例题：P291 例6第五章随机变量及数字特征5-1一、随机变量（函数）及分布、期望、方 差 ;二、

13、常用随机变量的分布 三、二维随机变量及其联合分布、期望、 方差、；第五章随机变量及数字特征5-2 一、随机变量及其分布1、随机变量的概念及和事件的关系# 取值是随机，事前并不知道取到哪一个值；# 所取的每一个值，都对应于某一事件；# 所取的每一个值的概率大小是确定的。例题1：掷一骰子，A=出现1点，B=出现2点，C= 出现3点 F =出现6点，G= 出现2点或出现3点，H=出现1点或出现 2 点或出现3点；X表示掷此骰子出现的点数，则X可能的取值 为 1，2，3，4，5，6是随机的且所以X可能的取值是有 限个或可数个 离散型随机变量第五章随机变量及数字特征5-3 例题2：P309例题3连续型随

14、机变量（非离散型随机变量中常 见的一种）2、随机变量的分布：取值规律离散型随机变量取值规律用 ：或列表连续型随机变量取值规律用 密度函数刻划：性质：性质：例题3：例题1的随机变量X的分布列 X123456 Pk1/61/61/61/61/61/6第五章随机变量及数字特征5-4二、分布函数：（累加概率） 离散型随机变量分布函数：连续型随机变量分布函数：性质：例题4 :例题1的分布函数是：第五章随机变量及数字特征5-5三、随机变量的函数的分布1、概念：对 于例题1中的中随机变量X，设Y是X的函数， Y也是随机变量2、随机变量的函数的分布： 例题 6：例题1中，设Y=2X+1，求随机变量X的函数Y的分布 。解：X的可能取值为：1，2，3，4，5，6。所以Y的可 能取值为3，5，7，9，11，13。且例题 7：书P318例题 11、例题 12第五章随机变量及数字特征5-6四、随机变量的数字特征及性质期望方差离散随 机变量 X连续方差的简化计算公式及性质： 例8：P324 例3、4、5和P325的性质第五章随机变量及数字特征5-7五、几种常用的分布及数字特征1、离散型 名称 分布列适用期望方 差 二点 分布二项 分布泊松 分布第五章随机变量及数字特征5-8 2、连续型名称密度函数适 用期望方差均匀分布指数分布正态分布第五章随机变量及数字特征5-93、正态分布1）密度