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1、第三章生存年金 Life Annuities本章结构n生存年金简介(introduction of life annuities)n与生存相联的一次性支付 (single payment contigent on survival)n连续生存年金(continuous life annuities)n离散生存年金(discrete life annuities)n年金的递推公式（ recursion equations for life annuities）n年h次支付生存年金(life annuities with mthly payments)n等额年金的计算基数公式(commutatio
2、n function formulas for annuities with level payments)第三章中英文单词对照n生存年金n初付年金n延付年金n确定性年金n当期支付技巧n综合支付技巧nLife annuitynAnnuities-duenAnnuities-immediatenAnnuities-certainnCurrent payment techniquenAggregate payment technique第一节生存年金简介 introduction of life annuities1、生存年金的定义n生存年金的定义：n以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年
3、、季、 月）支付一次保险金的保险类型n(life annuity is a series of payments made continuously or at equal intervals(year, semi-year,quarter,month )while a given life survives)n分类n初付年金/延付年金(annuities-due /annuities-immediate)n连续年金/离散年金(annuities-continuous /annuities- discrete)n定期年金/终身年金(term annuities/whole life annui
4、ties)n非延期年金/延期年金(non-deferred annuities/deferred annuities)2、生存年金与确定性年金的关系n确定性年金（auunities-certain）n支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）n生存年金与确定性年金的联系n都是间隔一段时间支付一次的系列付款n生存年金与确定性年金的区别n确定性年金的支付期数确定n生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条 件）(life auunity brings in survival as a condition for payment)3、生存年金的用途n被保险人保费交付常使用生存年金的方式n（life
5、 insurance are usually purchased by a life auunity of premiums rather than by a single premium ）n某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金 的方式，特别在：n养老保险(pension insurance system)n伤残保险(disability insurance)n抚恤保险(workers compensation insurance)n失业保险 (unemployment insurance)第二节与生存相关联的一次性支付 Single payment contigent on surv
6、ival1、定义n现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔 付的保险。(a payment due at the end of n years provided that a life now aged x survives the n years)n也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存保险。 单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为n在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算 现值例2.1n计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知n假定i6n假定i2.52、年龄xx+tx+n现时 值1 1S 12、相关公式及意义nIf the lx survivors at a
7、ge x each deposit nEx into a fund to accumulate under the effective rate of interest i, there will be a sufficient amount at the end of n years to pay to each of the lx+n survivors at age x+n3、精算现值的分解第三节连续生存保险 continuous life annuities1、简介n连续生存年金的定义n在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险n连续生存年金的种类n终身连续生存年金/定期
8、连续生存年金n连续生存年金精算现值的估计方法n综合支付技巧(aggregate payment technique)n当期支付技巧(current payment technique)2、终身连续生存年金精算现值的估计一 综合支付技巧n步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和（record the interest only present value of all paymnet to be made by the auunity if death occurs at time t)2、终身连续生存年金精算现值的估计一 综合支付技巧n步骤二：计算这个年金现值关于时间积分
9、所得的 年金期望值，即终身连续生存年金精算现值（ multiply the present value found above by the probability density of death at time t and integtate over all times of death t），3、终身连续生存年金精算现值的估计二 当期支付技巧n步骤一：计算时间T所支付额度的精算现值n（record the amount of payment due at time t and determine the actuarial present value of the payment ）n
10、步骤二：计算该精算现值按照可能支付的 时间积分(integrate these acturial present value for all payment times t)，4、两种计算方法的等价性5、定期连续生存年金精算现值估计n综合支付技巧n当期支付技巧6、延期连续生存年金精算现值 估计n定义:n种类n延付m年终身连续生存年金n延付m年定期连续生存年金n常用领域n养老金6、延期连续生存年金精算现值 估计n年延期的终身生存年金 6、延期连续生存年金精算现值 估计nm年延期的期限为n年的生存年金险 种延期m年 终身生存年金延期m年 n年定期生存年金精 算 现 值 估 计7、延期连续年金和其他
11、连续年 金精算现值关系表8、连续生存年金和趸交保费的关系9、终身连续生存年金现值方差 的计算9、终身连续生存年金现值方差 的计算例3.1nUnder the assumptions of a constant force of mortality =0.04 and of a constant force of interest =0.06,evaluate（1） （2）the standard deviation of （3）the probability that will exceed 。例3.1答案n综合支付技巧n当期支付技巧例3.1答案例3.1答案例3.2n在De Moivre假定下
12、，n计算：终身连续生存年金精算现值及方差例3.2答案例3.2答案例3.3（例3.2续）n在De Moivre假定下，n计算：30年定期生存年金精算现值例3.3答案例3.4（例3.2，3.3续）n在De Moivre假定下，n计算：延期30年30年定期生存年金精算现 值例3.4答案第四节离散生存年金 discrete life annuities1、简介n离散生存年金定义：n在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险 。 n离散生存年金与连续生存年金的关系n计算精算现值时理论基础完全相同n连续积分，微分离散求和，差分n连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考
13、虑n（the theory of discrete life auunities is analogous,step-by-step, to the theory of continuous life annuities,with integrals replaced by sums,differential by differences 。For continuous annuities there are no distiction between payments at the beginning of intervals or at the ends, that is,between
14、annuities -due and annuities-immediate）1、简介n离散生存年金的分类n期初年金/期末年金n终身年金/定期年金n延期年金/非延期年金2、初付终身生存年金n当期支付技巧n综合支付技巧3、两种计算方法的等价性4、离散型终身生存年金和趸交 保费的相关公式例4.1n已知n假定91岁存活给付5，92岁存活给付10， 求：90919293 10072390 283339例4.1答案思考题：本题可以用 做吗 ？5、初付定期生存年金n当期支付技巧n综合支付技巧6、初付定期生存年金和趸交保 费相关公式7、延期初付生存年金险 种延期m年初付 终身生存年金延期m年初付 n年定期生
15、存年金精算 现 值8、常见险种的延付生存年金n初付生存年金与延付生存年金的关系8、常见险种的延付生存年金8、常见险种的延付生存年金 险种延付年金精算现值终身生存年金n年定期 生存年金 m年延期 终身生存年金 m年延期 n年定期 生存年金exercise9、生存年金的精算积累值第五节年金的递推公式 recursion equations for life annuities年金的递推公式example第六节年付m次的生存年金 life annuities with mthly payments1、简介n分类n终身年金与定期年金n期初付年金与期末付年金n延期年金与非延期年金n推导思路n寻找与前面已
16、经学过的年付年金之间的关系2、年支付m次的终身生存年金（初付）n基本公式2、年支付m次的终身生存年金（初付）2、年支付m次的终身生存年金（初付）3、年支付m次的定期生存年金（初付）4、延期生存年金（初付）n延期终身生存年金（UDD假定）n延期定期生存年金 （UDD假定）5、每年分m次期末支付的生存年金Exercise5.1n找出一份对（50）的按月期初付100元的终 身生存年金的精算现值（趸缴纯保费）， 假设死亡服从De-Moivre规则，Exercise5.2一份特殊生存年金如下：对（50）在每三个 月末支付500元，运用UDD假设及以下条件 计算该生存年金的现值第七节等额年金计算基数公式 commutation function formulas for annuities with level payments等额年金计算基数公式等额年金计算基数公式 险种初付延付终身生存年金定期生存年金延期终身生存 年金 延期定期生存 年金
