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1、第三章第三章3 3 变异指标变异指标 （统计数据的离中趋势）（统计数据的离中趋势）第一节 变异指标概述第二节 全距、分位差和平均差第三节 标准差和标准差系数 【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握变异指标 的意义和作用；标准差和标准差系数的计算和应用。了解变异 指标的分布特性；极差、平均差和四分位差的概念、计算公式 和特点；分布的偏度与峰度。第四节 偏度和峰度变异指标变异指标引例引例 投资风险的评价在金融证券领域，一项投资的的预期收益率的 变化通常用该项投资的风险来衡量。预期收益率的 变化越小，投资风险越低，预期收益率的变化越大 ，投资风险就越高。下面的两个直方图，分别反映 了200种商业
2、类股票和200种高科技类股票的收益率 分布。在股票市场上，高收益率往往伴随着高风险 。但投资于哪类股票，往往与投资者的类型有一定 关系。变异指标02550收益率（% ）频数(a)商业类股票 收益率（% ）频数(b)高科技类股票 02550变异指标(1) 你认为该用什么样的统计测度值来反映投资的 风险？(2) 如果选择风险小的股票进行投资，应该选择商 业类股票还是高科技类股票？(3) 如果你进行股票投资，你会选择商业类股票还 是高科技类股票？讨论讨论 一、离中趋势的涵义变异指标第一节 变异指标概述二、变异指标的作用三、变异指标的种类一、离中趋势的涵义变异指标第一节 变异指标概述指总体中各单位标志
3、值背离指总体中各单位标志值背离 分布中心的规模或程度，用分布中心的规模或程度，用 标志变异指标标志变异指标来反映。来反映。离中趋势离中趋势反映统计数据差异程度的综反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为合指标，也称为标志变动度标志变动度变异指标值越大，平均指标的代表性越小；变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大。反之，平均指标的代表性越大。二、变异指标的作用变异指标第一节 变异指标概述qq衡量和比较衡量和比较平均数平均数代表性的大小；代表性的大小；qq是进行是进行质量控制质量控制的基础；的基础；qq是衡量风险程度的尺度。是衡量风险程度的尺度。变异指标第一节 变异指标
4、概述三、变异指标的种类以标志值之间相互比较说明变异情况 以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标 平均差平均差标准差标准差平均差系数平均差系数标准差系数标准差系数方方差差峰度峰度偏度偏度全距全距分位差分位差变异指标还有一类，是以次数之间相互比较说明变异情况 异众比率异众比率它是指非众数组的频数占总频数的比率，用于衡量用于衡量 众数的代表性。计算公式为：众数的代表性。计算公式为：变异指标【例例】根据下表中的数据，计算异众比率。根据下表中的数据，计算异众比率。某城市居民关注广告类类型的频频数分布 广告类类型人数(人)频频率(%)商品广告服务务广告金融广告房
5、地产产广告招生招聘广告其他广告112 51 9 16 10 256.0 25.5 4.5 8.0 5.0 1.0合计计200100解：解：在所调查的在所调查的200200人当中，关注人当中，关注 非商品广告的人数占非商品广告的人数占44%44%，异众比，异众比 率还是比较大。因此，用率还是比较大。因此，用“ “商品广商品广 告告” ”来反映城市居民对广告关注的来反映城市居民对广告关注的 一般趋势，其代表性不是很好。一般趋势，其代表性不是很好。V Vr r = = 200 - 112200 - 112200200= 1 -= 1 -112112200200= 0.44 = 44%= 0.44 =
6、 44%第二节 全距、分位差和平均差 变异指标一、全距二、分位差三、平均差第二节 全距、分位差和平均差 变异指标指所研究的数据中，最大值与最小值之差 ，又称极差。一、全距一、全距最大变量值或最最大变量值或最 高组上限或开口高组上限或开口 组假定上限组假定上限最小变量值或最最小变量值或最 低组下限或开口低组下限或开口 组假定下限组假定下限第二节 全距、分位差和平均差 变异指标一、全距一、全距【例例】某季度某工业公司某季度某工业公司1818个工业企业产值计划完成情况如下：个工业企业产值计划完成情况如下：计计计计划完成程度划完成程度 （ ）组组组组中中值值值值 （ ）企企业业业业数数 （个）（个）计
7、计计计划划产值产值产值产值 （万元）（万元） 9090以下以下 9090100100 100100110110 110110以上以上85 8595 95 105105 1151152 23 3 10103 3800 8002 500 2 50017 200 17 2004 400 4 400 合合计计计计181824 90024 900第二节 全距、分位差和平均差 变异指标一、全距一、全距qq缺点缺点: :仅取决于两个极端值的水平，不能反映其仅取决于两个极端值的水平，不能反映其 间的变量分布情况；间的变量分布情况；受个别极端值的影响过于显著，不符合稳受个别极端值的影响过于显著，不符合稳 健性和
8、耐抗性的要求。健性和耐抗性的要求。全距的特点全距的特点qq优点优点: :计算方法简单、易懂；计算方法简单、易懂；第二节 全距、分位差和平均差 变异指标二、分位差二、分位差从变量数列中，剔除了一部分极端值后 计算的类似于极差的指标。四分位差四分位差十六分位差十六分位差十分位差十分位差八分位差八分位差三十二分位差三十二分位差百分位差百分位差第二节 全距、分位差和平均差 变异指标四分位差四分位差【例例】根据下表数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位差。 甲城市家庭对对住房状况评评价的频频数分布 回答类别类别甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数非常不满满意不满满意一般满满意非常满满意24 1
9、08 93 45 3024 132 225 270 300 合计计300是上四分位数与下四分位数之差。主要用于测度 定序数据的离散程度。数值型数据也可以计算四 分位差，但不适合于定类数据。 第二节 全距、分位差和平均差 变异指标四分位差四分位差解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意 为 4, 非常满意为5 已知 Q1 = 不满意 = 2， Q3 = 满意 = 4四分位差： QD = Q3 Q1= 4 2 = 2第二节 全距、分位差和平均差 变异指标三、平均差三、平均差 简单平均差简单平均差适用于未分组资料适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对 值的算术平均数，用 表示
10、。 计算公式：计算公式：总体算术 平均数总体单 位总数第 个单位 的变量值第二节 全距、分位差和平均差 变异指标三、平均差三、平均差【例】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、 520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：解：即该即该售货小组售货小组5 5个人销售额的平均差为个人销售额的平均差为93.693.6元。元。第二节 全距、分位差和平均差 变异指标三、平均差三、平均差 加权平均差加权平均差适用于分组资料适用于分组资料总体算术 平均数第 组变量值 出现的次数第 组的变量 值或组中值第二节 全距、分位差和平均差 变异指标三、平均差三、平均差qq优点优点:
11、 :不易受极端数值的影响，能综合反映不易受极端数值的影响，能综合反映 全部单位标志值的实际差异程度；全部单位标志值的实际差异程度；qq缺点缺点: :用绝对值的形式消除各标志值与算术用绝对值的形式消除各标志值与算术 平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理 和参与统计分析运算。和参与统计分析运算。平均差的特点平均差的特点第三节 标准差与标准差系数 变异指标一、标准差二、标准差系数三、是非标志总体的标准差第三节 标准差和标准差系数变异指标 简单标准差适用于未分组资料适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的 算术平均数的开平方根，用 来表示；标 准
12、差的平方又叫作方差，用 来表示。一、标准差一、标准差计算公式：计算公式：总体单 位总数第 个单位 的变量值总体算术 平均数第三节 标准差和标准差系数变异指标【例例】某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额分别为个人，某天的销售额分别为440440元元 、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元，求该售货小组销售元，求该售货小组销售 额的标准差。额的标准差。解：解：第三节 标准差和标准差系数变异指标一、标准差一、标准差 加权标准差加权标准差适用于分组资料适用于分组资料总体算术 平均数第 组变量值 出现的次数第 组的变量 值或组中值第三节 标准差和标准差系数变
13、异指标标准差的特点标准差的特点qq不易受极端数值的影响，能综合反映全部单不易受极端数值的影响，能综合反映全部单 位标志值的实际差异程度；位标志值的实际差异程度；qq用平方的方法消除各标志值与算术平均数离用平方的方法消除各标志值与算术平均数离 差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统 计分析运算计分析运算. .第三节 标准差和标准差系数变异指标二、标准差系数二、标准差系数用来对比不同水平的同类现象，特别是不同用来对比不同水平的同类现象，特别是不同 类现象总体平均数代表性的大小类现象总体平均数代表性的大小 标准差系数小的总体，其平均数的代表标准差系数小的总体
14、，其平均数的代表 性大；反之，亦然。性大；反之，亦然。应用应用: :第三节 标准差和标准差系数变异指标可比变异系数指标变异系数指标第三节 标准差和标准差系数变异指标身高的差异水平：cm体重的差异水平：kg用变异系数可以相互比较可 比第三节 标准差和标准差系数变异指标【例例】如果投资项目如果投资项目A A的预期回报率（均值）为的预期回报率（均值）为7%7%，标准差，标准差 为为5%5%；而投资项目；而投资项目B B的预期回报率为的预期回报率为12%12%，标准差为，标准差为7%7%，试，试 问哪个投资项目风险较大？问哪个投资项目风险较大？解：解：因为投资项目因为投资项目A A每单位回报率承受每单
15、位回报率承受0.7140.714单位的风险，而投资单位的风险，而投资 项目项目B B每单位回报率的风险为每单位回报率的风险为0.583 0.583 单位，因此，投资项目单位，因此，投资项目A A的风的风 险较大。险较大。第三节 标准差和标准差系数变异指标三、是非标志总体的标准差三、是非标志总体的标准差分分组组组组单单单单位数位数变变变变量量值值值值 具有某一属性具有某一属性 不具有某一属性不具有某一属性1 1 0 0合合计计计计为研究是非标志总体的数量特征，令指指总体中全部单位只具有总体中全部单位只具有“ “是是” ”或或“ “否否” ”、 “ “有有” ”或或“ “无无” ”两种表现形式的标
16、志，又叫两种表现形式的标志，又叫 交替标志。交替标志。是非标志是非标志第三节 标准差和标准差系数变异指标三、是非标志总体的标准差三、是非标志总体的标准差具有某种标志表现的 单位数所占的成数不具有某种标志表现 的单位数所占的成数指指是非标志总体中具有某种表现或不具有是非标志总体中具有某种表现或不具有 某种表现的单位数占全部总体单位总数的某种表现的单位数占全部总体单位总数的 比重。比重。成数成数第三节 标准差和标准差系数变异指标三、是非标志总体的标准差三、是非标志总体的标准差均均 值值标标 准准 差差第三节 标准差和标准差系数变异指标三、是非标志总体的标准差三、是非标志总体的标准差 【例例】某厂某月份生产了某厂某月份生产了400400件产品，其中合格
