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1、5 .多项式环的因子分解5.1 基本结论5.2 引理5.3 结论的证明5.1 基本结论我们将要得到的结果是：一个唯一分解环 上的多元多项式环 本身也是唯一分解环。5.2引理把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多 项式叫做可约多项式。定义 的一个元 叫做一个本原多项式，假如 的 系数的最大公因子是单位。引理 1 假定 。那么 是本原多项式，当 而且只当 和 都是本原多项式的时候。证明 若是 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项 式。 现在假定 是两个本原多项式。如果 不是本原多项式，那么 有一个最大公因子d，d不是 的单位。由于（B）， ，因而 。这样，由于 是唯一分解 环，有一个
2、 的素元 可以整除d，因而可以整除每一个 。这个 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头 一个不能被 整数的系数。 是系数 可以写成以下形式在这个式子里除了 以外，每项都能被 整除，所以也能被 整除，因而由于 是唯一分解环， 或 能 被 整除，与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多 项式。证完。现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ，那么 包含 。我们知道 是唯一分解环，我们要由这一件 事实来证明 也是唯一分解环。引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成的样子，这里 是 的本元多项式。若是 也 有 的性质，那么证明 Q的元都可以
3、写成 的样子，因此叫 ，那么叫 b 是 的一个最大公因子，那么 ， 是本原多项式（，2习题2）假定另一方面 ， 是 的本原多项式，那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式，bc和ad一定同是 的系数的最大公因子（，2，习题2），因而这样 证完引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充分而且必要条件： 在 里可约。证明 假定 在 里可约。这时，因为 显然也是 的本原多项式，由（C）。 和 都属于 ，并且它们的次数都大于零。 由引理2， ， 和都是 的本原多项式。由引理1，还是本原多项式；由引理2，因此 ，但 和 的次数各等于 的次数，因而都大于零： ；由（A）， 和都不是 的单位。这样，由
4、，1，定理3， 在 里可约。假定 在 里可约。这时，由（C），都属于 ，并且他们的次数都大于零。这样，由（A），把 看作的元，这两个多项式也不是 的单位；由，1，定理3，在 里 可约。证完。引理 4 的一个次数大于零的本原多项式 在 里 有唯一分解。证明 我们先证明 可以写成不可约多项式的乘积。若是 本身不可约，我们用不着再证明什么。假定 可约。由（C）和引理1，都是本原多项式，并且他们的次数都小于 的次数。这样，假如 还是可约，我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积。由于 的次数是有限正整数，最后我们可以得到（1） 。是不可约本原多项式。假定还有一个分解（2） 。那么由引理1， 是不
5、可约本原多项式。由引理3， 和 在 里还是不可约，这就是说，（1）和（2）也是 在 里的两种分解，但 是唯一分解环，所以我们有并且由（A），我们可以假定这样，由引理2，在 里有唯一分解。证完5.3 结论的证明定理 1 若是 是唯一分解环，那么 也是。证明 我们看 的一个不是零也不是单位的多项式 。若 ，那么由于 是唯一分解环， 显然有唯一分解。若 是本原多项式，由引理4， 也有唯一分解。这样，我们只需看d不是 的单位， 是次数大于零的本圆多项式时的情形。这时，因d有分解有分解是不可约本原多项式，所以 在 里有分解：假定在里有另一种分解：都是 的不可约多项式。这时， 一定是 的素元， 一定是不可
6、约多项式。因为： 若不是 的素元，显然也不会是 的不可约多项式； 若不是本原多项式，它的系数的最大公因子 显然是它的一个真因子，因而 也不会是不可约多项式，这样由引理1和2，我们有（3） 是 的单位；因而（4）（3）式表示的是本原多项式 的两种分解，因而由引理4，而且我们可以假定（4）表示的是唯一分解环 的元d的两种分解，因而而且我们可以假定这样， 是唯一分解环。证完。由定理 1 ，应用归纳法立刻可以得到定理 2 若 是唯一分解环，那么 也是，这里是 上的无关未定元。由定理1，当 是整数环的时候， 是一个唯一分解环。但 我们知道，这个多项式环不是一个主理想环（，7，例3 ）。这样，我们有了一个分解环不是主理想的例子。
