概率论与随机过程课件 1.2

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1、1定义若试验E具有特点 （1）试验的样本空间的元素只有有限个，比如n个，样本空间表示为=e1,e2,en；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同 则称试验E为古典概型（或等可能概型）概率的计算：若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为，且A含有k个样本点则事件A的概率就是1.2.1 古典概率1.2 事件的概率及其性质2性质（1）对于每一个事件A，有P(A)0；（2）P()=1；（3）设A1，A2，. Am是两两互不相容的事件，即 对于ij , AiAj= , i, j=1,2,m, 则有 (3) 设样本空间含n个基本事件,Ak含有rk(n)个基本 事件，k=1,2,m,由古典概型概率的定义由

2、于A1，A2，. Am两两互不相容，则证明: (1)(2)显然成立。3例题例1：1-6数码，任取不同的两数码构成两位数,求这两个数都是偶数的概率。小结：在古典概型中，求事件A的概率关键在于寻找 基本事件的总数和事件A所含的基本事件个数。这时，往往要利用乘法、加法原理及排列组合 的知识。解：属于古典概型，与两数的顺序有关是排列。A：取两个数都是偶数。则(一)取球问题袋中共有N个球，N1白，N2红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出a+b个球，试求这a+b个球中恰含a个白b个红的概率。解： 不放回 试验从N个球中取出a+b个球，有两种理解（1）一次取出a+b个球；（2）一个一个取，不放回，取

3、a+b次；三类问题：按(1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件 ，只观察颜色不分顺序，按组合计算样本点总数：设A：a+b球中恰有a个白b个红，把A发生的过程分为串行的两步：在白球中取a个球，再在红球中取b个球按乘法原则所含样点是按（2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号， 不放回，取a+b个球是有顺序的，构成a+b个球的一个 排列，样本点总数：A的发生可分解为如下过程：在这a+b个球的位置上，选a个位置放白球，剩下的放 红球，样本点数：因一个一个取与一次取出一样，因而又有如下方法：放回抽样 一个一个取，故看为可重复的排列，样 本空间的样本点数：Na+b所以，所求概率为：由乘法、加法

4、原理，A所含样本点数为:（分析同（2）n个球，随机的放入N个盒（n N），每盒容量不限，观察放法：(1)某指定的n个盒中各有一个球 A1,求P(A1)；(2)恰有n个盒中各有一球2,求P(A2);(3)某指定的盒子中恰有k个球 A3,求P(A3).(3) P(A3) =(2) P(A2) =(1) P(A1) =(二) 放球问题解: 试验: 一个一个放n个球入N个盒,每种方法构成了一种可重复的排列，于是例: 设每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意r 个人生日各不相同的概率P(A).解: 由放球模型 所以，至少两个人生日相同的概率为: p=1-P(A), 计算如下：r 20 23 30 4

5、0 50 64 100p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997例：1N个数字任取k个数字，一个一个的取，取后放回，求：（1）A：k个数字完全不同；（2）B：不含1，2，N中指定的r 个数字；（3）C：某指定的数字恰好出现m（ k）次;（4）D：k个数字中最大数恰好为M。解：试验为从1，2，N个数中有放回地依次取k个数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事件总数为Nk。（三）随机取数(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。（1）因k个数字完全不同，实际为不重复的排列， 基

6、本事件个数为：(2) 同理(3) 同理练习：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回 ，求事件Ak=第k次取出白球的概率。解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出 构成的全排列，总样本点(a+b)!。事件Ak的过程（串行）：先从a个白球中选一个放 在第k个位置 种，再在a+b-1个球作任意排列:如果将球认为只有颜色的区别，放入a+b个盒中 ，其中a个位置放白球，则这一随机试验的样本点总 数为设事件A为“第k个位置是白球”，则A中含基本事 件数为于是解法2 将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的“ 几何方法”。满足下列条件的试验，称为“几何概型”：(1)样本空间是直线或二维、三

7、维空间中的度量有限的区 间或区域；(2)样本点在其上是均匀分布的。定义：在几何概型中，若样本空间所对应区域的度 量为L(),且事件A的度量为L(A) ，则A的概率为这里 L()，可代表图形的长度，面积或体积等。1.2.2 几何概型 例1:（约会问题）：甲，乙两人约定中午1点到2点间在某地会面，约定先到者等候10分钟即离去，设想甲，乙两人各自随意地在1-2点之是选一个时刻到达约会点，问“甲，乙两人能约会”这一事件的概率为多少？解:以x, y（单位：分钟）分别表示两个到达约会点的时刻，则0x60，0y60，且能会面的充要条件为：|x-y|10，样本空间和事件A分别可表示为： =（x,y）| 0x6

8、0, 0y60 A=(x,y)| |x-y|10, (x,y)“甲，乙两人随意地1-2点之间选择一个时刻到达会面点”，可以理解为这个正方形内任一点出现都是等可能的。按约定，只有在点（x,y）落入图形阴影部分时，事件A才发生。这样易算得A的概率为：yx60601010x-y=-10x-y=1002几何概型中概率的性质（1）对于每一个事件A，有P(A)0；（2）P()=1；（3）设A1，A2， Am 是两两互不相容的事件，即 对于ij , AiAj= , i, j=1,2, 则有 解 设M表示投下针的中点，x表示M与最近的平行线 的距离，表示针与此线的夹角，从而0x a/2, 0 这两个不等式决定

9、的xo面上一 矩形区域既是实验的样本空间。针与平 行线相交的充要条件为记事件A为针与平行线相交，则Mx例 (蒲丰投针问题)平面上有等距离为a的一些平行线 ，向平面上任意投一长为l 的针(l a),试求针与平行线 相交的概率。于是xa/21.2.3 概率的统计定义 2. 频率的性质 (1) 0fn(A)1;(2) fn()=1;(3)设A1，A2，. Am两两互不相容 ，则有 1.频率的定义在相同条件下，将实验进行了n次，在这n次实验中，事件A发生的次数nA称为事件A的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。2概率的统计定义由于当实验次数n较大时，频率fn(A)=nA/n会稳定

10、于某 一常数p，因此可将A的概率定义为:P(A)=p。结论：在大量实验中，随机事件发生的频率具有稳定性 。 分析: 当n充分大时， fn(A)稳定在某数p的附近；另一方面，若事件A出现的可能性愈大，则它出现的频率 也愈大。则将p作为P(A)是合理的。 问题：n 很大时，频率值能否作为概率值？局限性：（1）不能对任一事件都去通过大量实验来确定概率 ；（2）即使做了大量实验也难以获得频率的稳定值。（3）不严格，无法进行数学推理。定义的意义：（1）应用中提供了求事件的概率的近似值的方法，可 用n充分大时的频率作为概率的近似值。（2）检验一种理论方法是否正确。1. 定义设为样本空间，称的一些子集所组成

11、的集合 为 的一个-代数，如果 满足下列条件：例如，,为的一个-代数，它是的最小-代数，所有子集所组成的集合是的最大-代数。设A为的一子集，则,A,为的一个-代数。1.2.4 概率的公理化定义我们把的-代数 又称为的事件域并仅把 中的元素看成为事件。-代数的定义中只要求对逆，可列并运算封闭，事实上这时-代数对交，差的运算也是封闭的。性质:若 为的一个-代数，则：., 2 , 1,)4(1IL=iiiFAiFA则若;, 2 , 1,)3(11IUL =niiniiiFAFAniFA则若;,)2(I-FBAFBAFBA则若;)1(F2. 概率的公理化定义定义：设 为样本空间上的-代数，P是定义在上

12、的实值集函数，如果它满足：则称P为定义在, 的概率，P(A) 为事件A的概率，三元总体, ,P称为概率空间。称定义中的条件(3)为可列可加性。3. 概率的性质 （1）P()=0,(3)（4）若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).(2)因为B=A(B-A)。由（2）。（5）P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).因为 AB=A(B-AB),A、(B-AB)互不相容P(AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).同理：P(A1 A2 A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)

13、加法定理：一般的：()nnnkjikjiAAAPAAAPLL2111) 1()(-+-（6）概率的连续性：例1:设P(A)=1/3,P(B)=1/2,(1)若事件A，B互不相容，求P(BA);(2)若A真包含于B，求P(BA);(3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。解:（1）先用图来分析。若A,B互不相容，则P(BA)=P(B) =1/2;(2)若A真包含于B，则因为BA=B-A,从而P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6;(3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/8=3/8 .例2: 在11000的整

14、数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解: 设A为事件“取到的数能被6整除”，B为事件“取到的数能被8整除”则所求概率为 又由于一个数同时能被6与8整除，就能被24整除，因此所求概率为p=1-P(A)+P(B)-P(AB)=1-166/1000-125/1000+41/10000.75例3: 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有 这12次接待都是在周二和周四进行的问是否可以推 断接待时间是有规定的解: 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一 周的任一天中中去接待站是等可能的，那么，12次接 待来访者都在周二、周四的概率为212/712=0.0

15、000003，即千万分之三，人们在长期的实践中总结得到“概 率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（ 称之为实际推断原理）现在概率很小（只有千万分 之三）的事件在一次试验中竟然发生了因此有理由 怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接待 来访者即认为其接待时间有规定的例4. 考试时共有N张考签，n个同学参加考试(nN), 被抽过的签立即放回，求在考试结束后，至少有一张 考签未被抽到的概率。0)(,1)(,21121=-NnNAAAPNAAAPLLLL解：设考签编号为1,N，事件Ai=第i号考签未被抽到，i=1, ,N.则容易求得()()()nn i NNiinN NN nnNnnNNNNjijiNiiNNiNCNCNNCNNCAAAPAAPAPAAAPP-=+-+-=-+-=-=-=11112212111121)1(01)1(21)()1()()()()(LLLL到至少有一张考签未被抽小结：求事件的古典概型应注意几点：(1)