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1、曲线的极坐标方程 52 曲线的极坐标方程 在极坐标系中，用，=0表示曲线的方 程 。 一些基本曲线的方程： =r =0 (0) =0 (R) o xo x00 rooxxoPP(2，P(，2/3 = 2 = 2 3 ooooxxx xc(a，0)c(a，/2)c(a，)c(a，-/2) P(，)P(，)P(，)P(，)=2acos=2acos( -)= -2acos =2acos( -3/2)= -2asin =2asin xxxxP(，)P(，)P(，)P(，)ooooaaaa=asec=acsc=asec(-3/2)=-acsc=asec(- )= -asec )c(0，0)raP(，)P
2、(，)余弦定理 r2= 2+02- 2 0cos(-0)正弦定理 = sin(-)a sin(-) = asin sin(-)ooxx P47 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 动点M到定点(焦点)F与到定直线(准线)L的 距离的比为e，求点M的极坐标方程。 分析：以焦点F为极点， 如图建立极坐标系。F到L 的离|FK|=p，M，为轨 轨上的任一点。 把条件 = e，用极坐标表示=e 解出 = KFHM(，)x|MF| |MH| P+cos ep 1-ecos 上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 F LxLFxxFL当0e1时，方程表示 椭圆，F是左焦点，L 是左准线。当1e时，方程表示双 曲
3、线，F是右焦点，L 是右准线。当e=1时，方程表示抛 物线，F是焦点，L是 准线，开口向右。 圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 = ，基中e=1，p是焦点到准线的 距离，p= ，代入上式得所求的抛物线 = = ep 1-ecos 5 21- cos1 252- 2cos5 (2) 以椭圆 + = 1的左焦点为极点，长轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求椭的极坐标方程。 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的
4、极 坐标方程为 = ，由椭圆的直角坐标 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= ， p= -3+ = ，代入上式 = = x2y2 1625ep 1-ecos 3 5325 3163/5 16/3 1-3/5cos16 5-3cos 例 6 通过抛物线y2=8x的焦点F，作一条倾斜 角为/4的直线，交抛物线于A、B两点，求 焦点弦|AB|的值。 分析：可用以往学过 的方法求焦点弦的长。 也可建立极坐标系解决。 点F为极点，x轴正半轴 为极轴，它的极坐标方程为 = ，1= ，2= |AB|= 1 + 2=16o F xABy4 1-cos124 1-cos/44 1-cos5/4 P52 53
5、极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系xoy的 原点为极点，x轴的正方 向为极轴，点M的直角 坐标为(x，y)，它的极 坐标为(，根据三角 函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系 x= cos ， y=sin ， 2=x2+y2 ，tg = (x=0) 一般，根据M所在象限 ，取最小的正角。oxyM)y x 公式的应用 例 把点M的极坐标(-5，)化成直角坐标 直接代入公式计算 x=cos= -5cos/6 =(-5/2)3 y=sin = -5sin/6= - 5/2 点M的直角坐标是(- ，- ) 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标 极径取正值 =2 极角 ： tg = ，= 6)
6、Moxy535 22oxyM3 37 6 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 极坐标方程。 解题时，应用公式，注意整体替代。把 x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得 2-2acos = 0(-2acos)=0 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 =0 是极点， =2acos 表示以(a，0)为圆心，a为 半径，且过极点的圆，所以 =0不必写出来。ox(a，0) 例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程 解题注意整体替代。 把原极坐标方程两边同乘 2 =-4 sin + cos ， 2 =x2+y2 ， cos
7、 = x， sin = y，它的直角坐标方程 是x2+y2=-4y+x (x- )2+(y+2)2= 在直角坐标系xoy中 方程表示的是以(，-2)为 圆心 ，为半径的圆。1 2417oxy1 2214 把极坐标方程2sin2 =2tg化为直角坐标方程 解：把原方程化为sin cos = tg x= cos ，y= sin ， = tg 它的直角坐标方程是 xy= y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 是三条直线：y=0或x=1或x=-1xyy x P54 例 4 化圆锥曲线的极坐标方程= 为直角坐标方程。 解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos x2+y2=e(x+p)，两边平方得 x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0 ep 1-ecos
