《人教A版数学必修五 （2.2.2 等差数列通项公式）示范教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版数学必修五 （2.2.2 等差数列通项公式）示范教案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.2.22.2.2 等差数列通项公式等差数列通项公式从容说课从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公 式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列 的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学 会用图象与通项公式的关系解决某些问题. 在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中， 遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程， 激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数 列概念的
2、归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用， 渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习， 提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果. 教学重点教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用. 教学难点教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 教具准备教具准备 多媒体及课件 三维目标三维目标 一、知识与技能一、知识与技能 1.明确
3、等差中项的概念; 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差 数列的性质; 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题. 二、过程与方法二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列 通项公式的运用，渗透方程思想; 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特 殊与一般的辩证唯物主义观点; 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣. 教学
4、过程教学过程 导入新课导入新课 师师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆 一下什么样的数列叫等差数列？ 生生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 即an-a n-1=d(n2，nN *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差 (通常用字母“d”表示). 师师 对，我再找同学说一说等差数列an的通项公式的内容是什么？ 生生 1 1 等差数列an的通项公式应是an=a1+(n-1)d. 生生 2 2 等差数列an还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q 是常数).2师师 好
5、！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：d=an-a n-1；.你能理解与记忆它们吗？ 11 naadn mnaadmn 生生 3 3 公式与记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标11 naadn mnaadmn 之差). 合作探究合作探究 探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那 么数A应满足什么样的条件呢？ 师师 本题在这里要求的是什么? 生生 当然是要用a，b来表示数A. 师师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?生生 由定义可得A -a=b-A，即.2baA反之，若，则A-a=b-A,2baA由
6、此可以得a,A,b成等差数列.2baA推进新课推进新课 我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 如数列：1，3，5，7，9，11，13中 5 是 3 与 7 的等差中项，也是 1 和 9 的等差中项. 9 是 7 和 11 的等差中项，也是 5 和 13 的等差中项. 方法引导方法引导 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差 数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得
7、a，A，b成等差数列. 合作探究合作探究 师师 在等差数列an中，d为公差，若 m,n,p,qN*且 m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种 等量关系呢？ 生生 我得到了一种关系am+an=ap+aq. 师师 能把你的发现过程说一下吗？ 生生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7. 从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 师师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们 是否可以对这归纳的结论加以证明呢？ 生生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则am+an=a1+(m
8、-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d. 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq. 师师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项 等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若 m+n=p+q,则上面两式的右 边相等，所以am+an=ap+aq.3同样地，我们还有：若 m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容. 师师 注意：由am+an=ap+aq推不出 m+n=p+q，同学们可举例说明吗? 生生
9、 我举常数列就可以说明了. 师师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件. 例题剖析例题剖析 【例例 1】1】 在等差数列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9. 师师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？ 生生 1 1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项. 生生 2 2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意 两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了). 生生 3 3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手 师师 好，我们下面来解，请一个同学来
10、解一解，谁来解？ 生生 4 4 因为an是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2, 所以可得d=a4-a3=7-2=5. 又因为a9=a4+(9-4)d=7+55=32，所以我们求出了a3=2，a9=32. 【例例 2】2】 (课本 P44的例 2) 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即最 初的 4 千米(不含 4 千米)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地， 且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少元的车费? 师师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？ 生生 这个实际应用题可化归为
11、等差数列问题来解决. 师师 为什么？ 生生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加 1 km，乘客需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费. 师师 这个等差数列的首项和公差分别是多少? 生生 分别是 11.2，1.2. 师师 好，大家计算一下本题的结果是多少? 生生 需要支付车费 23.2 元. (教师按课本例题的解答示范格式) 评述：评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从 实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题. 课堂练习课堂练习 1.在等差数列an中， (1)若a5=a,a10=b,
12、求a15. 解：解：由等差数列an知 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以a15=2b-a. (2)若a3+a8=m,求a5+a6. 解：解：等差数列an中，a5+a6=a3+a8=m. (3)若a5=6,a8=15,求a14. 解：解：由等差数列an得a8=a5+(8-5)d,即 15=6+3d,所以d=3. 从而a14=a5+(14-5)d=6+93=33. (4)已知a1+a2+a5=30,a6+a7+a10=80，求a11+a12+a15的值. 解：解：等差数列an中，因为 6+6=11+1,7+7=12+2, 所以 2a6=a1+a11,2a7=a2+a12, 从而(a
13、11+a12+a15)+(a1+a2+a5)=2(a6+a7+a10), 因此有(a11+a12+a15)=2(a6+a7+a10)-(a1+a2+a5)4=280-30=130. 2.让学生完成课本 P45练习 5. 教师对学生的完成情况作出小结与评价. 方法引导方法引导 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列 的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围. 课堂小结课堂小结 师师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？ 生生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而 达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力) 布置作业布置作业 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 4、5 题. 预习内容：课本 P48P52. 预习提纲：等差数列的前n项和公式；等差数列前n项和的简单应用. 板书设计板书设计等差数列通项公式等差中项 例题在等差数列an中,若 m、n、p、qN*且 m+n=p+q,则am+an=ap+aq
