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1、学案学案5 5 两角和与差及二两角和与差及二倍角的三角函数倍角的三角函数考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四返回目录 1.两角和与差的三角函数公式sin()= ；cos()= ；tan()= .sincoscossin coscos sinsin返回目录 2.二倍角公式sin2= ;cos2= = = ;tan2= .3.半角公式sin = ;cos = ;tan = .2sincos cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 返回目录 【分析分析】注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路,同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.
2、考点一考点一 三角函数的化简求值三角函数的化简求值 求2sin50+sin10(1+ tan10)的值.返回目录 【解析解析】原式= 2sin50+sin10(1+ ) sin80=(2sin50+sin10 ) sin80=(2sin50+2sin10 ) cos10=(2sin50+ ) cos10= 2cos10=2 sin60=2 = .对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值. 返回目录 对应演练对应演练求下列各式的值:（1） ;（2）返回目录 返回目
3、录 (1)原式 返回目录 （2）原 式 返回目录 设cos（- ）=- ,sin（ -）= ，且 ,0 ，求cos(+)的值.【分析分析】观察发现 ，进而可利用差角的余弦求解.考点二考点二 三角函数的给值求值问题三角函数的给值求值问题【解析解析】因为 ,0 ,所以 - ,- - ,所以sin(- )= ,cos( -)= ,cos =cos (- )-( -) =cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)= ,所以cos(+)=2cos2 -1=- .返回目录 返回目录 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值 , 求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”，使“所求角
4、”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要会拆角、拼角等技巧.返回目录 对应演练对应演练已知tan=4 ,cos(+)=- ,均为锐角,求cos的值.tan= ,且为锐角, ,即sin= cos,又sin2+cos2=1,sin= ,cos= .0, ,0+,sin(+)= .而=(+)-,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin返回目录 若sin= ,sin= ,且,为锐角,求+的值.【分析分析】欲求+,先求+的一个三角函数值,再由,的范围确定出+的值.考点三考点三 给值求角问题给值求角问题 【解析解析】,为锐角,且
5、sin= ,sin = ,cos= ,cos= .cos(+)=coscos-sinsin= .又,均为锐角,0+,+= .返回目录 (1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数 时,可遵照下列原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角 的范围是(0， )，选正、余弦皆可；若角的范围是（0 ，），选余弦较好；若角的范围是( )，选正 弦较好.(2)解这类问题的一般步骤为:求角的某一个三角函数值;确定角的范围;根据角的范围写出所求的角. 返回目录 对应演练对应演练已知0 ,0 ,且3sin=sin(2+),4tan =1-tan2 ,求+的值.由4tan =
6、1- tan2 ,得由3sin(+)-=sin(+)+,得tan(+)=2tan,tan(+)=1.又0 ,0 ,0+ ,+= .返回目录 返回目录 求证：【分析分析】先转换命题，只需证:sin(2+)-2cos(+)sin=sin,再利用角的关系:2+=(+)+,(+)-=可证得结论.考点四考点四 三角函数式的化简与证明三角函数式的化简与证明 返回目录 【证明证明】sin(2+)-2cos(+)sin=sin(+)+-2cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin- 2cos(+)sin=sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)-=sin,sin(2+)-2cos(
7、+)sin=sin。 ( * )将( * )式两边同除以sin得-2cos(+)= .返回目录 证明三角恒等式常用以下方法:（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一 边相等；在证明的过程中，时刻“盯”住目标，分析其 特征，时刻向着目标“奔”；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式 子；（3）把要证的等式进行等价变形;（4）作差法，证明其差为0.对应演练对应演练化简sin2sin2+cos2cos2- cos2cos2.解法一：（复角单角，从“角”入手）原式=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2-1)(2cos2- 1)=sin2sin2+cos2cos2- (4cos2
8、cos2-2cos2- 2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2- =sin2sin2+cos2sin2+cos2- =sin2+cos2- =1- = .返回目录 解法二:(从“名”入手，异名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2cos2=cos2-sin2cos2- cos2cos2=cos2-cos2（sin2+ cos2）= -cos2sin2+ (1-2sin2)= - cos2= .返回目录 解法三:(从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=返回目录 解法四:
9、(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos- cos2cos2=cos2(+)+ sin2sin2- cos2cos2=cos2(+)- cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2(+)-1= .返回目录 返回目录 1.1.巧用公式变形巧用公式变形: :和差角公式变形和差角公式变形:tanxtany=tan(xy)(1:tanxtany=tan(xy)(1 tanxtany);tanxtany);倍角公式变形倍角公式变形: :降降幂公式幂公式coscos2 2= ,sin= ,sin2 2= ;= ;配方变配方变形：形：1
10、sin=1sin=（sin cos sin cos ）2 2,1+cos=2cos,1+cos=2cos2 2 ,1-,1-cos=2sincos=2sin2 2 . .2. 2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asin+bcos= sin(+).y=asin+bcos= sin(+)其中其中tan=tan=有：有： |y|.|y|.返回目录 3.3.重视三角函数的重视三角函数的“ “三变三变” ”：“ “三变三变” ”是指是指“ “变角、变名变角、变名、变式、变式” ”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变 形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. .在解决求在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度
