《人教A版数学必修一《指数函数、对数函数、幂函数》综合提高知识讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版数学必修一《指数函数、对数函数、幂函数》综合提高知识讲解（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 中小学教育资源站（http:/)，百万免费教育资源当下来，无须注 册！中小学教育资源站 http:/ 指数函数、对数函数、幂函数综合指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标学习目标】1理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。 3理解对数的概念及其运算性质。 4重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明 确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 5会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等 性质.6知道指数函数与对数函数互为反函数(a0，a1).xay xyalog
2、【知识框图知识框图】【要点梳理要点梳理】 要点一、指数及指数幂的运算要点一、指数及指数幂的运算 1.1.根式的概念根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中annxaxan*1,nnN当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为nnnnan偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.nna负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是 0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.nana2.n2.n 次方根的性质：次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，nnnaan,0, ,0;nna aaaa a(2) nnaa3.3.分数指数幂的意义：分
3、数指数幂的意义：；0,1m nmnaaam nN n10,1m n m naam nN n a中小学教育资源站（http:/)，百万免费教育资源当下来，无须注 册！中小学教育资源站 http:/ 要点诠释：要点诠释： 0 的正分数指数幂等于 0，负分数指数幂没有意义. 4.4.有理数指数幂的运算性质：有理数指数幂的运算性质： 0,0, ,abr sQ(1) (2) (3)rsr sa aa()rsrsaa rrraba b要点二、指数函数及其性质要点二、指数函数及其性质 1.1.指数函数概念指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域0,1xyaaa且x为.R 2.2.指数
4、函数函数性质：指数函数函数性质：函数 名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域(0,)过定点图象过定点，即当时，.(0,1)0x 1y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数R函数值的 变化情况1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax变化对a 图象的影 响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆a 时针方向看图象，逐渐减小.a0xay xy(0,1)O1y 0xay xy(0,1)O1y 中小学教育资源站（http:/)，百万免费教育资源当下来，无须注 册！中小学教育
5、资源站 http:/ 要点三、对数与对数运算要点三、对数与对数运算 1.1.对数的定义对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中(0,1)xaN aa且xaNlogaxN叫做底数，叫做真数.aN (2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.log(0,1,0)x axNaN aaN2.2.几个重要的对数恒等式几个重要的对数恒等式，.log 10alog1aa logb aab3.3.常用对数与自然对数常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中).lg N10logNln NlogeN2.71828e 4.4.对数的运算性质对数的运算性质如果，那么0,1,0,0aa
6、MN加法：logloglog ()aaaMNMN减法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog()n aanMMnRlogaNaNloglog(0,)bn aanMM bnRb换底公式：loglog(0,1)logb a bNNbba且要点四、对数函数及其性质要点四、对数函数及其性质 1.1.对数函数定义对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义log0,1ayx aa且x域.0,2.2.对数函数性质：对数函数性质：函数 名称对数函数定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 图象1a 01a中小学教育资源站（http:/)，百万免费教育资源当下来，无须注
7、册！中小学教育资源站 http:/ 定义域(0,)值域R过定点图象过定点，即当时，.(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)函数值的 变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxx变化对a 图象的影 响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺a 时针方向看图象，逐渐减小.a要点五、反函数要点五、反函数 1.1.反函数的概念反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子( )yf xAC( )yf xx.如果对于在中的任何一
8、个值，通过式子，在中都有唯一确定( )xyyC( )xyxA的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数( )xyxy( )xy的反函数，记作，习惯上改写成.( )yf x1( )xfy1( )yfx2.2.反函数的性质反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.( )yf x1( )yfxyx(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.( )yf x1( )yfx(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.( , )P a b( )yf x( , )P b a1( )yfx0xyO(1,0)1x logayx 0xyO(1,0)1x logayx 中小学教育资源站（h
9、ttp:/)，百万免费教育资源当下来，无须注 册！中小学教育资源站 http:/ (4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.( )yf x要点六、幂函数要点六、幂函数 1.1.幂函数概念幂函数概念形如()yxR的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.2.幂函数的性质幂函数的性质 (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象 限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关 于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于y 原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通(0,)过点. (1,1)(3)单调
10、性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在0上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为0,)0(0,)减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.xy (4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若q p, p qpqZpqq pyx为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非pqq pyxpqq pyx偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线,(0,)yxx101x下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直yx1x yx101x线上方，若，其图象在直线下方.yx1x yx【典型例题典型例题】 类
11、型一：指数、对数运算类型一：指数、对数运算 例 1.计算(1) ； (2)；22271loglog 12log 4248233lg 2lg 53lg2lg5(3)；(4)222lg5lg8lg5lg20lg 23lg0.7 lg20172【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14。1 2中小学教育资源站（http:/)，百万免费教育资源当下来，无须注 册！中小学教育资源站 http:/ 【解析】(1)原式=；1 2 2227111log12loglog 224 3762 (2)原式=22lg2lg5lg 2lg2lg5l
12、g 53lg2lg5=2lg10lg5lg23lg2lg53lg2lg5=1-+=13lg2lg5 3lg2lg5(3)原式=22lg52lg2lg5 1 lg2lg 2=2 lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)=2+=3；lg5lg2(4)令，两边取常用对数得x lg0.7 lg20172=lg0.7 lg201lglg 72x1 lg2 lg7(lg7 1)( lg2)=lg7lg2lg7lg2lg7lg2=lg14即=14。14,xlg0.7 lg20172【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高， 但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练
13、习熟练掌握运算公式、法则，以及 学习数式变换的各种技巧. 举一反三：举一反三：【变式 1】=（ ）552log 10log 0.25A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【解析】=。552log 10log 0.252 5555log 10log 0.25log (100 0.25)log 252【变式 2】(1)；(2)。2(lg2)lg2 lg50lg253948(log 2log 2) (log 3log 3)【答案】(1)2；(2)。5 4中小学教育资源站（http:/)，百万免费教育资源当下来，无须注 册！中小学教育资源站 http:/ 【解析】(1) 原式22(lg2)(1
14、lg5)lg2lg5(lg2lg5 1)lg22lg5；(1 1)lg22lg52(lg2lg5)2(2) 原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3() ()() ()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2。3lg2 5lg35 2lg3 6lg24类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例例 2 2.设偶函数满足，则= ( )( )f x3( )8(0)f xxx|(2)0x f xA. B. |24x xx 或|04x xx或C. D. |06x xx或|24x xx 或【答案】 B【解析】且是偶函数.3( )8(0)f xxx( )f x338,0,( )8,0,xxf xxx或320,280xx
