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1、第五章 变换域处理拉氏变换与Z变换赵明*信号分析与处理-变换域处理2变换域处理的课程构成n拉普拉斯变换n连续时间信号nZ变换n离散时间信号n拉普拉斯变换、z变换以及傅立叶变换之 间的关系*信号分析与处理-变换域处理3拉普拉斯变换n何谓拉普拉斯变换n一个线性时不变系统对于复指数信号输入， 输出是复指数信号的倍数，该倍数是一个由 复指数决定的参数n拉普拉斯变换定义*信号分析与处理-变换域处理4拉普拉斯变换的讨论n拉普拉斯变换与傅立叶变换n拉普拉斯变换在s=j就是傅立叶变换*信号分析与处理-变换域处理5拉普拉斯变换举例的拉普拉斯变换若当Res-a时，拉普拉斯变换收敛提示：当Res-1*信号分析与处理
2、-变换域处理18拉普拉斯变换的反变换Im-2-1ReIm-2-1Re*信号分析与处理-变换域处理19常用的拉普拉斯变换对*信号分析与处理-变换域处理20傅里叶变换的几何求值方法n拉普拉斯变换的决定因素n表达式n由零极点确定相对幅度n收敛域n仍然由零极点确定n几何求值n利用零极点确定傅里叶变换结果*信号分析与处理-变换域处理21傅里叶变换的几何求值方法考虑s=s1的拉普拉斯变换值简单看：该数值等于s=s1与各零点构成的向量的乘 积除以该点与极点构成的向量的乘积几何求值*信号分析与处理-变换域处理22傅里叶变换的几何求值方法讨论一下对于回顾傅里叶变换的收敛性，P207几何求值法的用途往往在于 用它
3、观察系统的整体特性， 如后面介绍*信号分析与处理-变换域处理23一阶系统一阶系统微分方程通常表达为一阶系统频率响应为： 单位冲击响应为 ： 阶跃响应为：为时间常数， 越小，冲击响应衰减越快。的拉氏变换为：极点向量的模：随着 增加而单调下降：随着 增加单调从0下降 到*信号分析与处理-变换域处理24二阶系统二阶系统线性常系数微分方程表达为系统频率响应为：为阻尼系数， 称为无阻尼自然频率欠阻尼： ，单位冲击响应是衰减的振荡过阻尼： ，单位冲击响应缓慢靠近最终值临界阻尼：其中*信号分析与处理-变换域处理25二阶系统的零极点几何分析*信号分析与处理-变换域处理26全通系统全通系统： 拉普拉斯变换在虚轴
4、上任意点的极点向量和零 点向量的长度比值是常数，也就是说频率响应 的模是常数，与频率无关。称为全通系统 全通系统的零极点关于虚轴对称*信号分析与处理-变换域处理27拉普拉斯变换性质n线性性质n若干信号的线性组合的拉普拉斯变换等于各 信号的拉普拉斯变换的线性组合n收敛域为至少包含各收敛域的交集n收敛域可能超越各收敛域的交集*信号分析与处理-变换域处理28线性性质举例Im-2-1ReIm-1ReIm-2Re*信号分析与处理-变换域处理29拉普拉斯变换性质n时移性质nS域频移注意：零点和极点也出现移动，加上向 量n时域尺度变换*信号分析与处理-变换域处理30拉普拉斯变换性质n共轭变换n从而，如果 为
5、实函数，则 零极点对称出现n卷积性质n举例*信号分析与处理-变换域处理31拉普拉斯变换性质n时域微分s可能会抵消一个极点n举例nS域微分n举例*信号分析与处理-变换域处理32拉普拉斯变换性质n时域积分ROC包括n初值和终值定理：当可用于帮助验证拉氏变换的正确性，如u(t)*信号分析与处理-变换域处理33拉普拉斯变换和LTI系统n原理nLTI的冲激响应可以唯一表征该系统n信号和其拉普拉斯变换一一映射n冲激响应的拉普拉斯变换可以表征该系统的一切行 为n拉氏变换与傅氏变换nH(s)称为系统函数或者转移函数。n重点研究以下性质n因果性n稳定性*信号分析与处理-变换域处理34拉普拉斯变换表征LTI系统的
6、性质n因果性n任何因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面n有理系统函数的系统ROC位于右半平面和因果性是 等价的（考虑哪些时域信号对应有理系统函数）n稳定性n当且仅当系统函数H(s)的收敛域包含虚轴时，LTI系 统是稳定系统n因果稳定系统n收敛域必须是包含虚轴的右半平面*信号分析与处理-变换域处理35拉普拉斯变换与系统因果性n系统因果性质举例因果系统以上给出了一个非因果系统，但是符合收 敛域为右半平面，可见收敛域包含右半平 面非充要条件，仅仅为必要条件非因果系统以上说明有理系统函数的因果性和ROC的右 边性的一致*信号分析与处理-变换域处理36拉普拉斯变换与系统因果性及稳定性举例Res2,因
7、果，非稳定系统2Res-1,非因果，稳定系统Res0则不含0和n如N1=0,含z=n如N2r0的有限z值都在收敛域中nxn是一个左边序列，若|z|=ro在收敛域中， 则01，01/3,典型的右边序列X(Z)的ROC在1/4|z|1/3,典型的双边序列*信号分析与处理-变换域处理67反Z变换的求取n幂级数方法nZ变换实际上是一个正幂级数和负幂级数的 的和n一个单项的指数幂Zn0对应n+n0*信号分析与处理-变换域处理68反Z变换的求取n对于变换式n可表达为幂级数n如n幂级数展开法对求取非有理反变换有用*信号分析与处理-变换域处理69利用零极点图对傅立叶变换进行几何求值n连续时间傅立叶变换几何求值
8、回顾nS平面虚轴对应傅立叶变换n利用虚轴上的点对应零点向量和极点向量的 幅度之比值为连续时间傅立叶变换n离散时间傅立叶变换几何求值过程nZ平面单位圆对应离散时间傅立叶变换n利用单位圆上的点对应的零点向量和极点向 量的幅度之比值为离散时间傅立叶变换*信号分析与处理-变换域处理70离散时间傅立叶变换的几何求值一阶系统 的离散时间傅立叶变换零点向量：极点向量二阶系统 的离散时间傅立叶变换*信号分析与处理-变换域处理71Z变换性质1n线性性质n发生了零极点抵消，可能ROC会扩大。否则 ROC为两者相交部分。n时移性质n可能会在ROC上引入或消除原点或无穷远点*信号分析与处理-变换域处理72Z变换性质2
9、nz域尺度变换n特例：当n变换为： ，表示在Z平面内的旋转n实际就是频移性质。一般情况下还要考虑幅 度变化。n时间翻转*信号分析与处理-变换域处理73Z变换性质3n时间扩展n时间扩展是内插入0值而获得的。n共轭n实序列零极点也共轭对称出现*信号分析与处理-变换域处理74Z变换性质4n卷积性质n一种解释：两个Z变换的乘积，其多项式系 数就是其各自系数的卷积。nZ域微分*信号分析与处理-变换域处理75Z变换性质4举例n求如下Z变换的反变换观察有：n求如下Z变换的反变换n有：*信号分析与处理-变换域处理76Z变换n初值定理 n对于一个序列若xn=xnunn推证：考虑级数的每一项的极限值。n推论：对因
10、果序列，如x0是有限值，那么 X(z)即有限。如X(z)的分子多项式阶数不能 高于分母多项式。*信号分析与处理-变换域处理77利用Z变换分析和表征LTI系统n系统冲激响应、输入信号和输出信号的Z 变换关系n系统行为由冲激响应唯一确定和标志n系统函数和冲激响应构成一一映射n系统函数可以确定系统行为和性质n系统行为可以由零极点和收敛域确认n根据零极点和收敛域也可以确认部分系统行为和 性质*信号分析与处理-变换域处理78系统函数和系统性质n系统因果性n因果系统冲激响应hn=hnunn一个离散时间LTI系统当且仅当系统函数的收敛 域在某个圆的外部，而且收敛域包含无穷n一个有理分式表达的系统函数H(z)
11、是因果系统 的充分必要条件n1、RoC位于最外层极点外边的某一个圆的外边n右边序列n2、H(z)的分母分子表示为多项式时，分子的阶 次必须小于等于分母的阶次n收敛域包含无穷*信号分析与处理-变换域处理79系统函数和系统性质ROC位于最外层极点决定的圆外， 容易知道是一个右边序列H(z)分子分母写成z的多项式，分子的多项式次数 不大于分母的多项式次数，因此收敛域包含无穷H(z)所代表的系统是因果的*信号分析与处理-变换域处理80系统函数和系统性质n系统稳定性n单位冲激响应绝对可和n单位冲激响应的傅立叶变换收敛n系统函数n系统函数H(z)在单位圆上的结果就是离散傅立叶 变换n系统稳定的充分必要条件
12、：收敛域ROC包含 单位圆|Z|=1收敛域不包含单位圆，因此 系统属于不稳定系统*信号分析与处理-变换域处理81系统函数和系统性质举例n系统稳定性收敛域不包含单位圆，因此系统属于不稳定系统 。若： 则，非因果，但是稳定。若： 则，非因果，也不稳定。*信号分析与处理-变换域处理82系统函数和系统性质nLTI系统的因果稳定性nH(z)的极点全部位于单位圆内n即全部极点的模均小于1时，系统是因果稳定的当|a|1时系统是因果稳定的ImRe11ImRe*信号分析与处理-变换域处理83线性常系数差分方程和系统函数nLTI系统的差分方程时域表达nLTI系统的系统函数表达*信号分析与处理-变换域处理84系统函
13、数和系统性质举例一个系统输入是x1(n),输出是y1(n),分别是：当输入x2(n)=(-1)n,输出是y2(n)=7/4(-1)n根据题目条件H(-1)=7/4a=-9*信号分析与处理-变换域处理85系统性质举例n单位脉冲响应hn,有理系统函数H(z)是稳定而因 果的。假设已知道z=1/2有一极点，单位圆上有 个零点。其余不详。判断如下结论是否正确。n n 对某n hn有限长n hn是实数序列。n gn=nhn*hn是稳定系统的单位脉冲响 应。*信号分析与处理-变换域处理86系统函数的代数属性与方框图nLTI系统的级联与并联n两个LTI系统的反馈互联*信号分析与处理-变换域处理87系统函数的
14、代数属性与方框图n用相加，乘以系数，积分（单位延时）构成的 方框图来描述微分方程（差分方程）表示的 LTI系统。n方框图表达形式n直接型n级联型n并联型 *信号分析与处理-变换域处理88系统函数的方框图举例1n微分方程描述的LTI系统举例n n n n *信号分析与处理-变换域处理89系统函数的方框图举例2n差分方程描述的LTI系统举例n n n n *信号分析与处理-变换域处理90单边Z变换n单边Z变换定义。n举例n *信号分析与处理-变换域处理91单边Z变换性质n单边Z变换性质。n和双边Z变换大部分性质相同（注意时移性质）nROC总是某圆的外边。有理单边z变换ROC总在最外层 极点外边。n双边变换时间反转性质无对应单边性质n卷积性质的区别。*信号分析与处理-变换域处理92作业n9.21 (a),(e),(i)n9.53n10.5n10.21(a),(g)n10.31n10.41
