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1、西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程本章中心内容本章中心内容第6章 特征线法 特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程Method of characteristics Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的似方法。曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地 为人们所用。电子计算机出现以
2、后，又得到了进一步的发展，在 一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。 特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是 沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其 求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求 解非线性方程的一种有效方法。解非线性方程的一种有效方法。西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程一、特征线法一、特征线法结合一些具体的定解问题
3、的求解，说明特征线方法的基本思想结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想 和求解方法。和求解方法。第一节、一阶偏微分方程特征线法第一节、一阶偏微分方程特征线法例例1 1 求解线性方法求解线性方法CauchyCauchy问题问题解解 方程（方程（1 1）的左端）的左端是是的一阶偏导数的线性的一阶偏导数的线性组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为关于关于t t的全的全导数。导数。在这条直线在这条直线上，即上，即，在这个直线上，上述，在这个直线上，上述定解问题转化为定解问题转化为西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征
4、线法数数 学学 物物 理理 方方 程程解之，得解之，得又又，则，则此解法关键之处是找到直线此解法关键之处是找到直线，偏微分方程转化为，偏微分方程转化为 常微分方程。直线常微分方程。直线称为一阶偏微分方程（称为一阶偏微分方程（1 1）的特征线）的特征线西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程特征线特征线是方程是方程的解，方程的解，方程称为（称为（1 1）的特征方程，其解就是（）的特征方程，其解就是（1 1）的特征线。）的特征线。沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特
5、征线法的基本思想。征线法的基本思想。对定解问题（对定解问题（1 1）（）（2 2）也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换则则西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程即即代入代入有有所以所以即即对对两边积分，可得两边积分，可得其中，其中，为一个可微函数。为一个可微函数。由由西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程由方程（由方程（2 2）得得即即所以所以西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法
6、数数 学学 物物 理理 方方 程程定义定义1 1 考虑下面一阶线性微分方程考虑下面一阶线性微分方程注注1 1 给出例给出例1 1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数其中其中、和和、均为自变量均为自变量、的函数。的函数。方程方程称为称为(4)(4)式的特征方程，其积分曲线称为式的特征方程，其积分曲线称为(4)(4)式的特征曲线。式的特征曲线。c c，即为特征线的初始值，即为特征线的初始值。当参数。当参数在在轴滑动时轴滑动时 ，(3)(3)式的解曲线就织成了式的解曲线就织成了(1)(1)式式-(2)-(2)式的解曲面。式的解曲面。为了避免和常数为
7、了避免和常数c c混淆，下面用变量混淆，下面用变量代替参数代替参数c c。请记住：。请记住：变化相当于变化相当于在在轴上滑动。轴上滑动。西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程例例2 2 求解线性方法柯西问题求解线性方法柯西问题解解 方程方程(6)(6)式的特征方程为式的特征方程为 而过点而过点 的特征线就是下面问题的解的特征线就是下面问题的解 解之可得解之可得 。沿此特征线原定解问题。沿此特征线原定解问题(6)-(7)(6)-(7)简化为简化为 西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物
8、物 理理 方方 程程解出解出 最后，由特征线方程最后，由特征线方程 易得该问题的解为易得该问题的解为 常数常数 (8)(8)式中便得式中便得(6)(6)式式-(7)-(7)式的解为式的解为 将其代入到将其代入到 西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程练习练习求下列Cauchy问题的解解解 第一步 求特征线。 特征线方程的解为第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令则西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程则这个常微分方程初值问题的解为又所以西安交通大学西安交通大学
9、 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程下面下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数 一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为 有关有关 。 西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程方程方程(9)(9)式有一个很直观的几何解释，在式有一个很直观的几何解释，在 的法的法对曲面上任一点对曲面上任一点 三维空间中，三维空间中，(9)(9)式的解可视为该空间中的一曲面式的解可视为该空间中的一曲面 的的 曲面在该点曲面
10、在该点 向量为向量为 而在曲面而在曲面上，过点上，过点的曲线的曲线在点在点的切向的切向量为量为。显然，向量。显然，向量与与在点在点相互相互垂直。如记向量垂直。如记向量则方程则方程(9)(9)式恰好表示向量式恰好表示向量与与在点在点处相互垂直。因此，在曲面处相互垂直。因此，在曲面西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程第二节、一维波动方程的特征线法第二节、一维波动方程的特征线法考虑弦振动方程的考虑弦振动方程的CauchyCauchy问题问题这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特
11、征线求解。特征线族特征线族即即可得可得西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程（3 3）称为特征方程）称为特征方程做变量代换做变量代换则西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程则（1）式变为积分此方程，可得其中f、g是两个任意函数，将变量还原成x和t得由方程的（2）式，可得西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程对上面第二式两边积分联立（A）（B）两式，可得所以西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学
12、与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程例2解例1解西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程西安交通大学西安交通大学 数学与统计学院数学与统计学院第六章 特征线法数数 学学 物物 理理 方方 程程
