《2013版高中数学全程学习方略配套课件2.1.1数列的概念与简单表示法(人教A版必修5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高中数学全程学习方略配套课件2.1.1数列的概念与简单表示法(人教A版必修5)（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 【思考】【点拨】数列的概念及分类 【名师指津】1.对数列概念的认识（1）an与an是不同的概念.an表示数列a1,a2,a3,an,而an仅表示数列an的第n项.(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数集有本质的区别.2.数列分类的判断（1）若数列an满足anan+1，则是递增数列；（2）若数列an满足anan+1，则是递减数列；（3）若数列
2、an满足an=an+1，则是常数列；（4）若数列an从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，则是摆动数列.【特别提醒】集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按顺序排列的，项与项可以是相同的.【例1】已知下列数列：(1)2 003，2 006，2 009，2 012；(2)1，(3)1,0,-1, ;(4)1, , ；(5)0, , .其中，_是有穷数列，_是无穷数列，_是递增数列,_是递减数列，_是摆动数列.【审题指导】题目中给出了各个数列的表达形式，注意观察数列的项的变化趋势与规律，注意省略号“”及其位置，利用数列的通项公式，紧扣数列的有关概念完成判断.【规范
3、解答】（1）是有穷递增数列；（2）是无穷递减数列；（3）是摆动数列，也是无穷数列；（4）是摆动数列，也是无穷数列；（5）是无穷递增数列（因为 ）.答案：(1) (2)(3)(4)(5) (1)(5) (2) (3)(4)【变式训练】1.下列叙述正确的是（ ）(A)数列1，3，5，7和数列3，1，5，7是同一数列(B)同一个数在数列中可能重复出现(C)数列的通项公式是定义域为正整数集N*的函数(D)任何数列的通项公式都存在【解析】选B.根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，A是错误的；数列的通项公式的定义域是正整数集N*或它的有限子集1,2,3，4
4、,n，因此C是错误的；有时一个数列不存在通项公式，故D是错误的；对于一个数列，可以有重复的数，故B正确.2.已知数列：(1)0，1，2，3，(2)1, (3)-1,1,-1,1,-1,1,(4)5,5,5,5,5,其中，_是递增数列，_是递减数列，_是摆动数列，_是常数列（填序号）.【解析】根据数列的定义，观察数列中的项随序号变化的情况.答案：(1) (2) (3) (4)用观察法求数列的通项公式【名师指津】1.用观察法求数列的通项公式的一般规律.（1）(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用
5、周期函数，如三角函数等.2.“基本数列”的通项公式.(1)数列-1，1，-1，1，的通项公式是an=(-1)n；(2)数列1，2，3，4，的通项公式是an=n；(3)数列3，5，7，9，的通项公式是an=2n+1；(4)数列2，4，6，8，的通项公式是an=2n；(5)数列1，2，4，8，的通项公式是an=2n-1；(6)数列1，4，9，16，的通项公式是an=n2.(7)数列1，3，6，10，的通项公式是an= (8)数列 的通项公式是an= 【特别提醒】有些数列的通项公式并不惟一.【例2】写出下列数列的一个通项公式：（1） 2， 8， ；（2）9，99，999，9 999，；（3） ；（4
6、）2， 【审题指导】题目中给出了各数列的表达形式，经过观察，分析寻找每一项与其项数的统一规律,结合“基本数列”的通项公式来求解.【规范解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： ,所以，它的一个通项公式为an= (nN*).(2)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an=10n-1.（3）数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n-1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用（n+1）2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an= (n
7、N*).（4）数列的符号规律是（-1）n+1，使各项分子为4，变为 ，再把分母分别加1，又变为 ，数列的通项公式为an= (nN*).【互动探究】若本例（4）中，数列变为-2， ，又如何求其通项公式呢？【解题提示】首先观察符号的规律，再观察分子的特点.【解析】数列的符号规律是（-1）n,使各项分子为4，变为,再把分母分别加1,又变为 ,数列的通项公式为an= (nN*).数列的函数特性【名师指津】数列与函数的关系（1）数列中的对应.对于任意数列如：1， ，每一项的序号与该项都有对应关系，见下表： (2)从函数的观点看数列.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2,n）的函数
8、f（n），当它的自变量n从开始依次取正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），f（n），.（3）数列的图象表示.以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的有限子集1,2,n）所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的.【例】已知函数f(x)=2x-2-x，数列an满足f(log2an)=-2n.求数列an的通项公式.【审题指导】题目中给出了函数的表达式以及数列满足的条件，欲求数列的通项公式，可建立关于an的一元二次方程求解.【规范解答】f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,=-2n,a
9、n- =-2n, +2nan-1=0,解得an=-nan0,an= -n，nN*.【变式备选】写出数列1， 的通项公式，并判断它的增减性.【解题提示】观察得到数列的通项公式，判断an与an+1之间的关系，用作差法.【解析】通过观察归纳得数列的通项公式为an= (nN*).又an+1-an= 0,an+1an.该数列是递减数列.【典例】(12分)数列an的通项公式是an=n2-8n+12.（1）这个数列的第3项是多少？（2）32是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）求an的最小值，并求此时n的值.【审题指导】题目中给出了数列an的通项公式，此通项公式是关于n的二次函数，可结合二
10、次函数的性质及图象特点，利用方程求解即可.【规范解答】(1)an=n2-8n+12，a3=32-83+12=-3. 3分(2)令n2-8n+12=32，即n2-8n-20=0，解得n=-2(舍去)或n=10.n=10，即32是该数列的第10项 7分(3)an=n2-8n+12=（n-4）2-4，当n=4时，an最小，故（an）min=a4=-4. 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】求数列-2n2+9n+3中的最大项.【解析】已知-2n2+9n+3=-2（n- ）2+ 由于n为正整数，故当n=2时，取得最大值为13，所以数列-2n2+9n+3中的最大项为第二项，为
11、13.1.下列说法错误的是（ ）（A）数列4，7，3，4的第一项是4（B）数列an中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3（C）数列-1，0，1，2与数列0，1，2，-1不相同（D）-1,1,2,0,-3是摆动数列【解析】选B.由数列的概念及表示来判断.2.数列an中，an=3n-1，则a2等于（ ）（A）2 （B）3 （C）9 （D）32【解析】选B.把n=2代入an=3n-1，得a2=32-1=3.3.已知数列an中，an+1=an+3,则数列an是( )（A）递增数列 （B）递减数列（C）常数列 （D）摆动数列【解析】选A.an+1=an+3,an+1-an=30,即an+1an.4.数列-1， 的一个通项公式是_.【解析】分母为正奇数，故分母为2n-1,分子为1，又奇数项为负，偶数项为正，所以an= 答案：an=5.已知数列an的通项公式an= 则 a3+a4=_.【解析】a3+a4= 答案：6.已知数列an的通项公式为an=3n2-28n,则-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？【解析】令3n2-28n=-49，解得n=7或n= （舍去）,所以-49是该数列的第7项.
