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1、第四节 高阶导数,引例: 变速直线运动,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例2,解,求,解,特别有:,例3. 设,对于n次多项式,有,一般有:,例4,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),思考:,例5,解,类似求得,例6,解,由方程,确定 ,解法一:,方程两边对 x 求导，得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,例7 设,解法二:,方程两边对 x 求导，得,再求导
2、, 得,当,时,故由 得,再代入 得,整理，得,例8,解,例9 设,解,求,利用高阶导数的运算法则和已知的高阶导数公式求高阶导数.,莱布尼兹公式,2.间接法:,运算法则,例10,解,例11,解,例12,解,小结,高阶导数的定义及物理意义;,高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);,n阶导数的求法;,1.直接法;,2.间接法.,思考题,1.,解答:,不对,设,，由,可知,，对吗？,2.,设 连续，且 ，,求 .,解,可导,不一定存在,故用定义求,求下列函数的 n 阶导数,解:,解:,3.,解:,(3),求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,4. 设,则,提示:,各项均含因子 ( x 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,5. (填空题) (1) 设,练 习 题,练习题答案,
