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1、 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 第十一章第十一章三角形三角形复习指导复习指导 一、复习目标提示：一、复习目标提示：1.认识三角形的概念、掌握三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。2.了解三角形的角平分线、高、中线，并能在具体的三角形中作出它们。3.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。4.能准确地辨认全等三角形中的对应元素，能熟练掌握三角形全等的条件。5.掌握直角三角形全等的判定方法，正确理解“斜边、直角边”的意义6.能利用尺规作一个三角形和已知三角形全等。二、重、难点点拨：二、重、难点点拨：1.三角形
2、的三边关系、及三角形的内角和。2.三角形全等的条件、全等图形的性质及其应用。熟练了解并掌握三角形的三边关系，三角形的内角和是解决与三角形有关问题的重要基础。全面掌握三角形全等的条件与全等的性质可以解决线段的相等、角的相等的证明问题。三、复习中应当注意的几个问题：三、复习中应当注意的几个问题：1.正确理解几个概念：（1）三角形：理解三角形的概念应抓住三点：三条线段，不在同一直线上，首尾顺次相接。其表示方法：以 A、B、C 三点为顶点的三角形记作ABC。（2）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角。（3）三角形的角平分线：一个三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，并且相交于一点；三
3、角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；每一条角平分线将每个内角分成相等的两个角。（4）三角形的中线：三角形的中线有三条，都在三角形的内部，且相交于一点；三角形的每一条边上的中线将该边分成两条相等的线段，将三角形分成两个面积相等的三角形。（5）三角形的高：每个三角形的每条边上都有一条高，并且垂直于该边，三角形的三条高不一定在三角形内部，但一定交于一点。（6）全等图形：全等图形一定考虑形状和大小都完全相同，两者缺一不可；它们只和形状、大小有关，和位置的摆放没有关系。对于全等三角形其表示方法如“ABC中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http
4、:/ A B C ” ，应将对应顶点写在对应位置上，以利于找出对应边、对应角。2.掌握三个关系：（1）三角形三边的关系：三角形的任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。若三条线段满足：两条线段之和大于第三条线段，且这两条线段之差（在减小）小于第三条线段， ，则它们就能构成三角形。换句话说，其中一条线段大于另两条线段之差且小于这两条的和，它们说能构成三角形。（2）三角形的三个内角的关系：三角形的三个内角之和等于 1800.（3）三角形的内角与外角的关系：位置关系：三角形的每个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角；数量关系：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形
5、的任意一个外角大于和它不相邻的内角。3.了解两个分类：按边分： 不等边三角形：三边互不相等的三角形三角形两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形：三条边都相等的三角形。按角分： 直角三角形：有一个角是直角的三角形三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形斜三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。三角形的分类可以按边分，也可以按角来分，两种分类方法要区分开来，不能混在一起。4.正确应用三角形全等的判定方法：三角形全等的四个判定方法都强调了三个条件，而且这三个条件中，至少有一条边，对应相等。在“边角边”中，它是两条边对应相等，外加一个“其夹角对应相等”在“角边角”中，由于三角形的内角和是 1800，
6、使这一判定方法有了一个推广即“角角边” ，只要两个三角形有两个对应角相等，再加上一个对应边相等的条件就可以证明两个三角形全等，而“边边边”秒是三条边对应相等。对四个判定方法加以分析：若知三条线段对应相等，就只考虑“边边边” ，其他三个暂不考虑；若知两边对应相等就再考虑加上一个什么样的条件，可能是再有一个边对应相等构成“边边边” ，或者看它们的夹角而构成“边角边” ，这时需要根据图形和题意去找就可以了；若已知一边，往往是找两角，或一边配夹角；若已知一角，就考虑夹它的两边，中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 凑成“边角边”或再找一个角及其夹
7、边，凑成“角角边” ，若已知两角，就考虑再找一对应边。对于直角三角形，除了用一般三角形的判定方法外还需要考虑“斜边、直角边” ，即“边边角”只对于直角三角形成立。5.正确应用全等的性质：两个图形全等后，其对应边对应相等、对应角对应相等、周长相等、面积相等。两个全等的三角形除了以上结论外，还有对应边上的中线对应相等，对应边一的高对应相等，对应角的平分线对应相等，等结论都可以通过证明全等来得到。6.掌握尺规作三角形的方法：要全面掌握由“已知两边及其夹角求作三角形” 、 “已知两角及其夹边作三角形” 、“已知三边作三角形”的方法。尺规作三角形是作图的重点，其中的语言叙述是圣战，要注意以下两点：尺规作
8、图的一般步骤：已知、求作、分析、作法、说明、讨论。而我们现在只需写出已知、求作、作法说可以了。尺规作图的语言叙述必须使用规范、精练、准确的作图语言。四、四、典例分析：典例分析：1.考查三角形三边的关系：例 1已知三角形中两边长分别为 5，8，试确定第三边的取值范围析解：由已知三角形中两边长时，可确定第三边的取值范围，其是|两边之差|第三边两边之和。即若设第三边为x，则有 85x5+8，即 3x13。点评：在求三角形中某一边的取值范围时，三角形三边关系是常用的不等关系。2.考查三角形的内角与外角的关系：例 2.如图 1 所示，已知 ABCD，B550，D220，则P 析解：利用平行线的特性和三角
9、形内、外角关系可解此题。因为 ABCD，B550，所以CEPB550，又因为D220，CEPP+D，所以PCEPD550220350。点评：本例综合运用了平行线的特性和三角形外角和的性质。3.考查判定三角形全等：例 3.如图 2，已知点 D 是ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于 E，DE、EF，CFAB，AE中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 与 CE 是否相等？试说明理由。析解：应先看图中 AE 与 CE 在哪两个三角形中，根据题中给出的条件能否证明这两个三角形全等。AECE，理由：因为 CFAB，所以AFCE（两直线平行
10、，内错角相等） 。又，在ADE 和CFE 中，DEEFAFCEAEDCEF （对项角相等）（已知）所以ADECFE（AAS） ，所以 AECE（全等三角形的对应边相等） 。点评：事实上，本例由 CFAB 还可以得到ADEF，从而利用 ASA 也能判定ADECFE。由本例可以看出，依据条件得到全等三角形的思路和方法并非唯一的，它与同学的思维取向，对条件的利用有关，但最终会殊途同归的，因而对于多个解法的题，同学们可以试试看，以利于巩固所学知识4.考查三角形全等的实际应用：例 4.如图 3，有一块矩形的土地 ABCD 分别被甲、乙二人承包，一条公路 GEFH 穿过这块地，为发展经济，决定将这条公路尽
11、量修直，为不影响甲乙两家土地的面积，请你设计一种方案来解决这一问题。中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 析解：将公路修直并不困难，困难的是保持甲、乙两家土地面积不变， ，我们可以利用矩形的 ADBC 构造全等三角形。取 EF 的中点 M，连结 GM，并延长交 FH 于点 N，GN 是修直后的公路，如图 3.设 GN 交 AD、BC 于 P、Q 两点。因为 EMFM，PEMQFM，EMPFMQ，所以PEMQFM（ASA） ，故能保持甲、乙两家承包的土地面积不变。点评：本例是构造全等三角形解决实际问题的一个实例，解决此类问题时，应把握题目的
12、条件及图形特征，运用全等三角形的判定方法合理分析，方能做出正确的解答。利用全等三角形的知识可以解决许多实际问题，这也是中考的热点。5.考查尺规作三角形：例 5.已知线段a，b 和 h(hb)，求作ABC，使 BCa，ABb，BC 边上的高为ADh。析解：一般来说对于比较复杂的几何作图题，一般应先采用画草图的方法进行分析，在分析的基础上进行作图。作法：（1）作直线 PQ，在直线 PQ 上任取一点 D，作 DMP Q；（2）在 DM 上截取线段 ADh；（3）以 A 点为圆心，以 b 为半径画弧交射线 DP 于点 B；（4）以 B 为圆心，以a为半径画弧交射线 BP 和射线 BQ 于点12CC和（5）连结12ACAC和；则12ABCABCAA和就是所求的三角形。如图 4.点评：作三角形时，一定三角形的全等条件查结合，以便确定所作的三角形是否符合所求作的三角形，同时，对于这种几何作图题来说，往往是按照由里到外的顺序平画，首先画出 AD，再画 AB，最后画出12CC和两点。中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/
