染色法和构造法在棋盘上的应用

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1、染色法和构造法在棋盘上的应用 广东北江中学 方奇l1 基本概念l2 棋盘的覆盖 (1) 同形覆盖 (2) 异形覆盖 (3) 小结l3 马的遍历 (1) 马的哈密尔顿链 (2) 马的哈密尔顿圈 l4 其它问题 (1) Worm worldl5 结语 目录 构造法直接列举出某种满足条件的数学对象或反例导致结论的肯定与否定，或间接构造某种对应关系，使问题根据需要进行转化的方法，称之为构造法 。染色法用不同颜色对棋盘格子进行染色，起到分类的效果。类似国际象棋盘上的黑白二染色，称为“自然染色”。 棋盘所谓m*n棋盘，指由m行n列方格构成的m*n矩形。每个方格成为棋盘的格，位于 第i行j列的格记为a(i,

2、j)。当i+j为奇（偶）数时，称a(i,j)为奇（偶）格。 1 基本概念2 棋盘的覆盖l棋盘的覆盖指用若干图形去覆盖棋盘。覆盖的每个图形也由若干格子 组成，称为覆盖形。约定任两个覆盖形互不重叠，任一覆 盖形中任一格总与棋盘上某格重合。 按覆盖效果，可分为完全覆盖、饱和覆盖、无缝覆盖和互 异覆盖。 完全覆盖：各个覆盖形的总格子数等于棋盘的总格子数 按覆盖形，可分为同形覆盖（只有一种覆盖形）和异形覆 盖（有多种覆盖形）。2-1 同形覆盖l例1 给出m,n,k，试用若干1*k的矩形覆盖m*n的棋盘。 l 分析 l 有定理1：m*n棋盘存在1*k矩形的完全覆盖的充分必要 条件是k|m或k|n。l 证明

3、： l 充分性是显然的。用构造法。当k|n时，每一行用n/k个 1*k的矩形恰好完全覆盖。k|m情况类似。l 必要性。当n,m均不能被k整除时，设l m=m1*k+r,0=s (否则旋转90)2-1 同形覆盖m=m1*k+r n=n1*k+s r=s 2-1 同形覆盖l由上面的定理1，可彻底解决m*n棋盘的p*q矩形完全覆盖问 题l定理2 m*n棋盘存在p*q矩形的完全覆盖充分必要条件是m,n 满足下列条件之一：l（i） p|x且q|yl（ii） p|x,q|x,且存在自然数a,b，使y=ap+bql其中x,y=m,n 2-2 异形覆盖 l例2 设有m*n的棋盘，当m*n为奇数时，尝试删去一个

4、格子 ，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖；当m*n为偶数时，尝试删 去两个格子，剩下部分用若干1*2的矩形覆盖。l分析：l1 先来考虑m*n为奇数的情况l 一方面，将棋盘自然染色。无论怎 么放，一个1*2的矩形必盖住一个黑格和 一个白格，而棋盘上的黑格比白格多1， 于是只能去掉一个黑格(即偶格) 。2-2 异形覆盖 l另一方面，设去掉偶格为a(i,j)，用构造法必能得到可行解li与j同为奇数 li与j同为偶数2-2 异形覆盖 l 再考虑m*n为偶数的情况l 类似地，由自然染色法得 知，去掉的两格必定异色，即 一个奇格，一个偶格（不然两 种格子总数不等）l 另一方面，用构造法，总 可以用一些粗线将

5、棋盘隔成宽 为1的长条路线，使从任一格 出发可以不重复地走遍棋盘并 回到出发点。2-2 异形覆盖 l针对染色法，上面的例子都是利用“各类颜色格子总数必 须相等”这一条件推出矛盾，但有些时候，只考虑这个条 件是不够充分的。l例3 8*8棋盘剪去哪个方格才能用21个1*3的矩形覆盖？l 分析 l 考虑到对称性， 只有剪去a(3,3)、a(3,6)、 a(6,3)、a(6,6)中的某一个 才能满足题意。 蓝色：21个白色：22个黑色：21个 l 覆盖类问题其实是一个难度较大的课题，这 里只讨论了一些简单的情况，以说明染色法与构 造法的应用l 需要补充的是，染色法的种类形形色色、五 花八门。考虑到可推

6、广性和易操作性，本文只着 重研究了“间隔染色法”（即自然染色法的推广）2-3 小结 3 马的遍历 l马行走规则l 从2*3的矩形一个角按对角线跳到另一个角上l马的遍历l 从一个格出发按跳马规则不重复地走遍所有格l棋盘中马的遍历问题分两类 l (1) 马的哈密尔顿链 l (2) 马的哈密尔顿圈 3-2 马的哈氏链l通常有三种方法l 贪心法每一步跳向度最小的点 （度数指可一步 到达且未经过的点的个数） l 分治法将棋盘分成几个小棋盘，分别找哈氏链 ，再接起来l 镶边法先在一个小棋盘中找到哈氏链，然后在 棋盘四周镶边，已产生大棋盘的哈氏链。l按上述方法不难得到下面结论：ln*n棋盘存在哈氏链的充要条

7、件是n3。3-2 马的哈氏圈l例4 求n*n棋盘的哈氏圈 l分析 ：l将棋盘自然染色，考察无解情况。l马无论怎么走，都必须按黑格白 格黑格白格如此 循环。由于要回到起点（起点与终 点同色），途经两种颜色的格子数 必相等，可知n为奇数时无解。l因为大小限制，n=6且为偶数时，用镶边法 构造 ln*n的大矩形是由(n-4)*(n-4) 的小矩形套上一个宽为2的环组 成的。而宽为2的环有一个特点 ，就是可用四条回路A、B、C、 D刚好覆盖 l假设(n-4)*(n-4)的棋盘已找到 哈氏圈l那么只要设法将A、B、C、D四 条回路嵌入其中，则n*n的矩形 的哈式圈就构造出来了3-2 马的哈氏圈l1） n

8、除以4余2时，l在内矩形四个角（A、E、I、M）上分别开口。 l1 将C与D所在的外回路与“内矩形”的回路在A、B上对接，变成A-C-D-Bl2 将G与H所在的外回路与“内矩形”的回路在E、F上对接，变成E-G-H-Fl3 将K与L所在的外回路与“内矩形”的回路在I、J上对接，变成I-K-L-Jl4 将O与P所在的外回路与“内矩形”的回路在M、N上对接，变成M-O-P-N1161926742025251827152617836242132112893514233033122231341310293-2 马的哈氏圈l2） n除以4余0时l在内矩形四个角（A、E、I、M）上分别开口。 l1 将C与

9、D所在的外回路与“内矩形”的回路在A、B上对接，变成A-C-D-Bl2 将G与H所在的外回路与“内矩形”的回路在E、F上对接，变成E-G-H-Fl3 将K与L所在的外回路与“内矩形”的回路在I、J上对接，变成I-K-L-Jl4 将O与P所在的外回路与“内矩形”的回路在M、N上对接，变成M-O-P-N154473849523126463925332272251556437483502530404556332823421633661445720292460413415125819356243581710136425916111471893-2 马的哈氏圈l一个猜想：lm*n（m=n）棋盘不存在不存

10、在哈氏圈的充要条件是：lm,n满足下列条件之一l（1） m,n都是奇数l（2） m=1,2或4l（3） m=3且n=4,6,8l还没有证明 其它应用l例5 蠕虫世界 （Uva）l蠕虫在一张N*N的网上爬行。每 个网格上有一个数字，蠕虫不 能经过相同的数字两次。开始 的时候，蠕虫任意选择一个格 子作为起始点。它爬行只能沿 水平或竖直方向，且不能超出 网外。蠕虫如何移动才能到达 尽可能多的网格呢？右面是一 个样例。 其它应用 分析：l 采用“染色法”贪心出一个上界。l 1 自然染色l 2 设Tfree,Tblack,Twhite分别记录三类格子数量l 对每一种数字（1，2，3）分析l 1）只存在标有该数字的白色格子，TwhiteTwhite+1l 2）只存在标有该数字的黑色格子，TblackTblack+1l 3）存在标有该数字的黑白两色格子，TfreeTfree+1l 3 估价上界l Lmax= (Twhite+Tfree)*2+1 (Twhite+TfreeTblack)l Twhite+Tfree+Tblack (Twhite+TfreeTblack)l (假设Twhite=Tblack,否则交换即可)5 结语l存在性问题 l染色法 l可行性问题 l构造法 l在以棋盘为模型的问题中，综合运用这 两种方法，双管齐下，往往能收到事半功 倍的效果！ 谢谢！