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1、要点梳理1.椭圆的概念平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .第八编 圆锥曲线8.1 椭圆椭圆基础础知识识 自主学习习椭圆焦点焦距集合P=M|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，其中a0,c0，且a，c为常数；（1）若 ，则P点的轨迹是椭圆；（2）若 ，则P点的轨迹是线段；（3）若 ，则P点不存在.a=c ac 标标准方程图图形性 质质范围围-axa -byb-bxb -aya对对称性对对称轴轴：坐标轴标轴 对对称中心：原点顶顶点A1（-a,0）,A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b
2、)A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 轴轴长轴长轴 A1A2的长为长为 2a;短轴轴B1B2的长为长为 2b焦距|F1F2|=2c离心率e= （0，1）a,b,c的关系c2=a2-b22.椭圆的标准方程和几何性质基础自测1.已知F1、F2为两定点，|F1F2|=4，动点M满足|MF1|+|MF2|=4，则动点M的轨迹是 .解析 动点M到两定点F1、F2的距离为常数4，由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.线段F1F22.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .解析 设长轴长、短轴长分别为2a、2b，则2a=4b3.（2010宿
3、迁月考）已知椭圆的长轴长是8，离心率是 ，则此椭圆的标准方程是 .解析 a=4，e= ，c=3.b2=a2-c2=16-9=7，椭圆的标准方程是 或 . 4.若椭圆 的离心率为 ，则实数m= .解析【例1】（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（ ，1）、P2（ ）,求椭圆的方程.利用待定系数法求椭圆方程.解（1）若焦点在x轴上，设方程为典型例题题 深度剖析分析椭圆过P（3，0）， .又2a=32b,a=3,b=1,方程为 .若焦点在y轴上，设方程为 .椭圆过点P（3，0），又2a=3
4、2b,a=9,b=3.方程为 .所求椭圆的方程为 或 . （2）设椭圆方程为mx2+ny2=1 (m0,n0且mn).椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程， 6m+n=1, 则3m+2n=1, 、两式联立， m= ,n= .所求椭圆方程为 .解得跟踪练习1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.解 方法一 设椭圆的标准方程是 或 ，两焦点分别为F1，F2，则由题意知2a=|PF1|+|PF2|= ，a= .在方程 中令x=c得|y|= 在方程 中令y=c得|x|=依题意并结合图形知 即椭圆的标准方
5、程为方法二 设椭圆的两焦点分别为F1，F2，且|PF1|= ，|PF2|= ，由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|= ，a= .|PF1|PF2|， 由题意知PF1F2为Rt，在PF1F2中，sinPF1F2= ，PF1F2= .2c=|PF1|cos = .b2=a2-c2= .所以椭圆方程为 . 【例2】一动圆与已知圆O1:（x+3)2+y2=1外切，与圆O2:（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件. 解 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3,0）,r1=1;O2（3，0）,r2=9,设动圆圆心为M
6、（x,y）,半径为R，则由题设条件可得|O1O2|=6，|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=106.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为 .分析跟踪练习2 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是什么图形？解 |PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的
7、圆.【例3】（2008全国理，15）在ABC中，AB=BC，cosB= ，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= .解析 如图所示,设AB=BC=x,由cosB= 及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=x2+x2+2x2 ，AC2= ，AC= .椭圆以A、B为焦点，故焦距为2c=AB=x.又椭圆经过点C，AC+BC= +x=2a，跟踪练习3 （2009山东东营模拟）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为 .解析 如图，ABF2为正三角形，|AF2|=2|AF1|，|AF2|+|A
8、F1|=2a， |AF1|=|F1F2|.|AF1|= ，又|F1F2|=2c,【例4】（14分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.（1）在PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a，可求|PF1|PF2|与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；（2）利用 |PF1|PF2|sin 60可证.分析解题示范（1）解 设椭圆方程为 （ab0）,|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos 60.m+n
9、=2a，m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.又mn =a2（当且仅当m=n时取等号）,4a2-4c23a2， ，即e .e的取值范围是 . 8分 （2）证证明 由（1）知mn= ,即F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.14分 跟踪练习4 椭圆 (ab0)的两焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，且PF1PF2=0，试求该椭圆的离心率e的取值范围.利用0x2b0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若 ，则椭圆的离心率是 .解析 如图，由于BFx轴，故xB=-c,yB= ,设P（0,t）,（-a,
10、t）=2（-c, -t）,a=2c, .3.（2009江西改编）过椭圆 (ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点,若F1PF2=60,则椭圆的离心率为 .解析 由题意知点P的坐标为 ,F1PF2=60, ,即2ac= b2= (a2-c2). e2+2e- =0,e= 或e=- (舍去).4.（2009广东理）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 .解析 设椭圆的长半轴为a，由2a=12知a=6,又e= = ,故c= ，b2=a2-c2=36-27=9.椭圆标准方程为 .5.（2010浙江金华模拟）
11、已知ABC的顶点B、C在椭圆 +y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 .解析 设椭圆的另一焦点为F,则由椭圆的定义知|BA|+|BF|= ,且|CF|+|AC|= ，所以ABC的周长为|BA|+|BF|+|CF|+|AC|= .6.（2010盐城模拟）椭圆 的左、右焦点分别为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的 倍.解析 由题意知点P的横坐标为3，把x=3代入椭圆方程 得y= ,故|PF2|= ，又|PF1|+|PF2|=2a= ，所以|PF1|= ，故|PF1|=7|PF2|. 77.（2009湖
12、北文）已知双曲线 的准线过椭圆 (b0)的焦点，则b= .解析 双曲线： 的准线方程为x=1.又椭圆的焦点为( )，故 =1.b2=3,b= .8.(2008天津文)设椭圆 (m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为 .解析 y2=8x的焦点为（2，0）, 的右焦点为(2,0),mn且c=2.又e= = ,m=4.c2=m2-n2=4，n2=12.椭圆方程为 .9.（2009江苏靖江调研）已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= .解析 如图所示,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|+|BF
13、1|+|BF2|=4a=20,又|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8.8二、解答题10.（2010南通模拟）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点坐标分别为（-4,0）和（4,0）,且椭圆经过点（5，0）；（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）.解 （1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 (ab0).a=5，c=4,b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的方程为 .(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），故所求椭圆的方程为 . 11.（2010杭州模拟）如图所示，点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2=30,求F1PF2的面积.解 在椭圆 中，a= ,b=2.c= =1.又点P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a= . 由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1
