《排列与组合复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列与组合复习（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、排列与组合复习分类计数原理 完成一件事,有n类办法,在第 1类办法中,有m1种不同的方法,在第2类办 法中,有m2种不同的方法在第n类办法 中,有mn种不同的方法,则完成这件事有 N=m1+m2+ +mn种不同的方法分步计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤 ,在第1步中,有m1种不同的方法,在第2步中, 有m2种不同的方法在第n步中,有mn种 不同的方法,则完成这件事有N=m1m2 mn种不同的方法分类计数原理与分步计数原理之间的区别与联系1分类计数原理中各类方法之间是互相独立的， 每一类每一种方法都能直接完成这件事情，分步 计数原理中，各个步骤之间是相互联系的，依次 完成所有步骤才能完成这
2、件事情2分类计数原理的重点在一个“类”字，分步计 数原理的重点在一个“步”字，应用加法原理时， 要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，在各 类办法中彼此是独立的，并列的应用分步计数 原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性，做一 件事需分成若干个步骤，每个步骤相继完成，最 后才算做完整个工作练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种不 同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、 英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本 ，有多少种不同的取法？ 答案：Nm1m2m335614 N=m1m
3、2m3=90N=353656=63练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三 位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从14这4个数字中任 选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法根据乘 法原理，得到可以组成的三位整数的个数是 N=455=100答：可以组成100个三位整数练习3： 求下列集合的元素个数(1)M=(x，y)|x，yN* ，x+y6(2)H=(x，y)|x，yN*，1x4，1y5 解 ： (1)分5类：(i)x=1，y有5种取法；(ii)x
4、=2，y有 4种取法；(iii)x=3，y有3种取法；(iv)x=4，y有2种 取法；(v)x=5，y只有一种取法因此M共有 5+4+3+2+1=15个元素(2)分两步：(i)先选x，有4种可能；(ii)再选y有5种 可能由乘法原理，H共有45=20个元素从n个不同的元素中，任取A个元素 ，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出A个元素的一个 排 列 。排列与排列数所有排列的个数叫做 排列数 ，用表示。 判断下列几个问题是不是排列问题?从班级5名优秀团员中选出3 人参加上午的团委会1000本参考书中选出100本 给100位同学每人一本1000名来宾中选20名贵宾分 别坐120号贵
5、宾席解79(r+36)(r+36)1） 由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 五位数，其中偶数共有 个。2） 用 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 三位数，共有 个。 3）五名同学排成一排，其中的甲乙两同学必 须站在两端 ，共有 种不同排法。4810012例2例3 若 , 则方程可表示多少个焦点在x轴上的相异椭圆.例4 从1到6这六个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数,且个位和百位必须是奇数,这样的五位数共有多少个? 万 千百十个万 千百十个万 千百十个解法一:N=144个解法二:N=-=144个用1、2、3、4、5组成没有重复数字的 四位数。 (1) 十位数字比个位
6、数字大的数有多少个 ？(2) 将这些数字按从小到大的顺序排列 ,2351是第几位？有条件的排列问题有条件的排列问题例5 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一 排照相留念。 a)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法 ？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种 排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排 法共有： （种）。捆绑法有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。b)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一 起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）说一说捆绑法一般适用于
7、问题的处理 。相邻有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法 ？解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有 种方法，所以共有： （种） 排法。有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法 ？ 插空法有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。d) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也
8、互不相邻 ，有多少种不同的排法？不同的排法共有：（种）说一说 插空法一般适用于 问题的处理 。互不相邻B*有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少 种不同的排法？BAA解：A在B左边的一种排 法必对应着A在B右边的 一种排法，所以在全排列 中， A在B左边与A在B右 边的排法数相等，因此有 ：排法。（种）有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少 种不同的排法？BA对应思想有条件
9、的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成两排照相留念。f）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小孩 必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？AB解：A，B两小孩的站法有： （种），其余人的站法 有 （种），所以共有 （种） 排法。例6 某班一天有数学、语文、物理、英语 、 体育、自习六节课,按下例要求排课表,分别有 多少种不同的排法？(1)第一节不排体育,自习。(2)体育不排在首末。(3)数学不排在下午两节,体育不排在一,四节 。组 合从n个不同元素中取出m(mn)个元素 并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合两个组合的元素完全相同为
10、相同组合注n个不同元素 mn 组合与元素的顺序无关排列与元素的顺序有关从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所 有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数表示方法Cm nCnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2) (n-m+1)m判断 下列几个问题是排列问题还是组合问题? 四个足球队举行单循环比赛(每两队比赛一 场)共有多少种比赛? 四个足球队举行单循环比赛的所有冠亚军 的可能性情况有多少种?从2,3,4,5,6中任取两数构成指数,有多少个不 同的指数? 从2,3,4,5,6中任取两数相加,有多少个不同 的结果?十个人相互通了一封信,共有多少封信?十个人相互通了一次电话,共打了
11、多少个电话?例1 计算: C107(2)C74(1)C例2 求证 mCnCnm+1 =m+1 n-m应用举例例3 从数字1,2,5,7中任选两个(1) 可以得到多少个不同的和 ?(2)可以得到多少个不同的差?例4 有不同的英文书5本,不同的中文书7本,从中选 出两本书. (1)若其中一本为中文书,一本为英文书.问共有多少 种选法? (2)若不限条件,问共有多少种选法?例5 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只 会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划右舷, 现要从 这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比 赛,有多少种不同的选法?例6 在MON的边OM上有5个异于O点的点,ON上 有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为顶点,可以得 到多少个三角形?NOMABCDEFGHI思 考:如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个 点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异于A, B的四个点D1 ,D2 ,D3 ,D4,问(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形 ?(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多 少个四边形?ABD1D2D3D4 C1C2C3C4 C5C6
