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1、根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,第七节 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程,I., 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,为 m 次多项式 .,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根
2、时,可设,特解,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,原方程通解为,例2,代入方程, 得,原方程通解为,法二,解,例3,则由牛顿第二定律得,解此方程得,代入上式得,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐次方程通解,代入原方程,得,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,例4,法二,对应齐次方程通解,作辅助方程,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,代入辅助方程,得,解,对应齐次方程通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,例
3、6,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原方程的通解为,即,小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,补充题:,1. 写出微分方程,的待定特解的形式.,解:,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,2.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,3. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,
4、故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,4. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,5.,有特解,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,的解.,6.,设函数,内具有连续二阶导数,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,且,解:,上式两端对 x 求导, 得,(1) 由反函数的导数公式知,代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,7.,且满足方程,解:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,8: 设,解:,则有,解初值问题:,得:,练 习 题,练习题答案,
