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1、第二章 位资描述和齐次变化 2.1刚体位资描述 2.2 齐次坐标和齐次变换 2.3 机器人操作手的运动学 方程 2.4 运动学方程的解 No.2刚体位姿描述和齐次变换方法在空间 机构动力学、机器人控制算法、计算 机图形学和视觉计算等方面得到广泛 的应用。 刚体在运动中，其上任意两点之间的 距离保持不变，任意两矢量之间的夹 角保持不变，而且矢量的叉积亦保持 不变。这种固有性质简称“形体不变” 性，作为刚性物体的数学抽象。2.1 刚体位资描述No.4一. 齐次坐标1、位置的描述（位置矢量）No.52、方位的描述（旋转矩阵）一. 齐次坐标i、j、k为为坐标标系AOXYZ中X轴轴、Y轴轴、Z轴单轴单
2、位矢量； i、j、k为为坐标标系BOXYZ中X轴轴、Y轴轴、Z轴单轴单 位矢量 ； 为单为单 位矢量i与 i的夹夹角，其余类类似项项的含义义以此类类推； No.6正交条件一. 齐次坐标BANo.73、位姿的描述（固接坐标系）坐标系B相对坐标系A的描述：表示位置时：旋转矩阵表示方位时：位置矢量AB一. 齐次坐标No.84、手爪坐标系Z轴：接近矢量aY轴：方位矢量oX轴：法向矢量n 原点：位置矢量p 旋转矩阵 手爪位姿一. 齐次坐标No.9齐次变换复合变换公式：齐次变换公式：写成矩阵形式：AB一. 齐次坐标No.101) 点的齐次坐标齐次坐标与直角坐标关系为：一. 齐次坐标No.111) 点的齐次
3、坐标2) 矢量的齐次坐标一. 齐次坐标No.12关于齐次坐标的几点说明 空间某点p的直角坐标和齐次坐标分别为： 坐标原点的矢量为： x,y,z三坐标轴的方向矢量分别为：一. 齐次坐标No.133) 矢量的齐次坐标运算公式一. 齐次坐标No.14一. 齐次坐标3) 矢量的齐次坐标运算公式No.15为避免利用矢量齐次坐标进行运算时出为避免利用矢量齐次坐标进行运算时出 现错误，可将齐次坐标还原成三维矢量的列现错误，可将齐次坐标还原成三维矢量的列 阵形式，然后进行相应运算，切记不可将齐阵形式，然后进行相应运算，切记不可将齐 次坐标混同于四维向量的列阵来进行运算。次坐标混同于四维向量的列阵来进行运算。一
4、. 齐次坐标3) 矢量的齐次坐标运算公式No.162.2. 齐次变换矩阵和齐次变换 1一般概念描述刚体的空间运动 建立 基础坐标系OXYZ 动坐标系OXYZ 与刚体固联 随刚体运动两坐标系原点O ,O 两个坐标的关系写成矩阵形式 :No.17每一列阵为三维矢量齐次坐标 前3列- 新坐标三坐标轴相对参考坐标系 方向余弦 两坐标系原点间向量- 齐次坐标齐次变换矩阵和齐次变换 No.18三、 齐次变换矩阵中各部分意义 =3x3子阵 二个坐标系之间的方向余弦方阵姿态矩阵或旋转矩阵31列 齐次变换中的平移量 坐标原点的相对位置即位置矢量坐标系的旋转和平移齐次变换No.191.表示坐标系 经过齐次变换T而
5、转换为 坐标系 2.表示坐标系 相对于坐标系 的位姿3.表明在三维空间中点齐次坐标由坐标系 向坐标系 的映射 4.运动算子 用位置矢量描述点平移 用旋转矩 阵描述点转动方位关系齐次变换的物理意义T三、 齐次变换矩阵中各部分意义 No.20一、平移坐标变换坐标系B与坐标系A：方位相同，原点不同点P在坐标系A和B中的描述有以下变换关系：四、 齐次变换的类型及相关运算 No.21一、平移坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 E - 为33单位阵。 为对应于X,Y,Z的平移量。No.22二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 坐标系B与坐标系A：原点相同，方位不同点P在坐标系A和B中的描述有
6、以下变换关系：No.23二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 1.绕三坐标轴的旋转矩阵No.24二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 1.绕三坐标轴的旋转矩阵No.25二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 1.绕三坐标轴的旋转矩阵No.26二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 2.绕任意轴旋转变换 旋转变换通式No.27二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 2.绕任意轴旋转变换 旋转变换通式No.28二、旋转坐标变换四、 齐次变换的类型及相关运算 2.绕任意轴旋转变换 例题：No.29解：四、 齐次变换的类型及相关运算 三、 连续变换1.连续移
7、动变换 = = = 连续变换等于各变换矩阵相乘； 变换矩阵相乘无交换律，但在连 续平移时，各矩阵相乘与次序无关。 1.连续移动变换 = = = n = =2.连续的旋转变换 2.连续的旋转变换 连续转动变换时，变换矩阵相乘次序不能更换 = =2.连续的旋转变换 在连续旋转变换时，若始终相对于同一轴在连续旋转变换时，若始终相对于同一轴( (或或 平行轴平行轴) )转动，则变换矩阵相乘时与次序无关转动，则变换矩阵相乘时与次序无关2.连续的旋转变换 如果连续变换是相对于当前系进行的，则依 次右乘变换矩阵，如果连续变换是相对于基础 系进行的，则依次左乘变换矩阵。 对于一个连续的变换 ，根据中 所得结论
8、，对于变换可以有两种解释。第一种 是相对于当前系，第一次变换为 ，第二次变 换为 ，第三次变换为 ；第二种解释是相 对于基础坐标系，第一次变换为 ，第二次变 换为 ，第三次变换为 。3.连续的复合变换 在复合变换（即包括移动变换和在复合变换（即包括移动变换和 旋转变换）问题的处理时，要按照变旋转变换）问题的处理时，要按照变 换矩阵连乘的顺序（相对基础坐标系换矩阵连乘的顺序（相对基础坐标系 则从右向左连乘，相对运动坐标系则则从右向左连乘，相对运动坐标系则 从左向右连乘），然后按照矩阵相乘从左向右连乘），然后按照矩阵相乘 的法则进行运算，即可求得最终的变的法则进行运算，即可求得最终的变 换。换。N
9、o.36变换矩阵相乘四、 齐次变换的类型及相关运算 No.37四、 齐次变换的类型及相关运算 No.38例题四、 齐次变换的类型及相关运算 No.39解：四、 齐次变换的类型及相关运算 No.40例题试用齐次变换的方法求解上例中的 。四、 齐次变换的类型及相关运算 No.41解：四、 齐次变换的类型及相关运算 No.42齐次变换矩阵也代表坐标平移和坐 标旋转的复合，可以将其分解成两个 矩阵相乘的形式。四、 齐次变换的类型及相关运算 No.43例题四、 齐次变换的类型及相关运算 No.44解：四、 齐次变换的类型及相关运算 No.452.6 欧拉角与RPY角 1.绕固定轴x-y-z旋转（RPY角
10、）No.462.6 欧拉角与RPY角 1.绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）No.472.6 欧拉角与RPY角 2. z-y-x欧拉角No.482.6 欧拉角与RPY角 3、z-y-z欧拉角No.49二、旋转坐标变换坐标系B与坐标系A：原点相同，方位不同点P在坐标系A和B中的描述有以下变换关系：No.50二、旋转坐标变换 1.绕三坐标轴的旋转矩阵No.51二、旋转坐标变换 1.绕三坐标轴的旋转矩阵No.52二、旋转坐标变换 1.绕三坐标轴的旋转矩阵No.532.7旋转变换通式1.绕任意轴旋转变换 旋转变换通式No.542.旋转变换通式No.55四、 齐次变换的类型及相关运算 3.绕任意轴旋转变
11、换 例题：No.56解：No.574.等效转轴和等效转角若有一变换 Rot=求此转动变换 是绕着那一个轴 线转 了多少角度才得到的。 No.58等效转轴和等效转角No.59等效转轴和等效转角两点注意：No.60例题No.61解：No.62六、变换矩阵求逆四、 齐次变换的类型及相关运算 方法一：利用齐次变换矩阵的特点求逆No.63六、变换矩阵求逆四、 齐次变换的类型及相关运算 方法二：直接对44的齐次变换矩阵求逆No.64多刚体系列：每一刚体上的坐标原点：坐标系：各坐标系间变换矩阵：得变换方程式 :四、 齐次变换的类型及相关运算 七、变换方程式No.65用不同坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关
12、系四、 齐次变换的类型及相关运算 七、变换方程式No.66例题四、 齐次变换的类型及相关运算 No.67解：四、 齐次变换的类型及相关运算 No.685.2 机器人操作手的运动学方程No.69几何结结构B（底座旋转转）y（伸出）z（提升）肩弯曲前臂肘弯曲 上臂水平回转转底座5.2 机器人操作手的运动学方程引 言*表示机械手杆件相对于基础坐标系的位姿方 程-运动学方程。*描述机械手杆件的位姿-建立直角坐标系绝对坐标系建立在地面的坐标系 机座坐标系建立在机器人机座上坐标系(固定坐标系)杆件坐标系建立在机器人杆件上的坐标系活动坐标系末端坐标系建立在末端执行器上的坐标系*各杆编号- 机座0号杆; 依次
13、为1,2,3,-n* 变换方程 - X2Y2X3Y3123123Y1X1X0Y0Z4Y4No.721.机器人杆件的几何参数及关节变量 1) 杆件的几何参数杆长ai 两关节轴线间公垂线长扭转角i 两关节轴线的交错角 2)操作手关节变量转动关节-角位移 i 移动关节-线位移d i No.731).固联坐标系建立在下关节上的模式后置模式2.机器人杆件上坐标系的确定 Zi轴-i号关节轴线上(li杆的下关节上) Zi-1 轴 - i-1 号关节的轴线上 Xi-1 轴 - Zi-1 与Zi 的公垂线 Xi 轴- Zi 与 Zi+1 的公垂线 转动关节 di 为常量，又称其为偏距i 为变量，又称为关节角 移
14、动关节 di 为变量， 又称为关节变量i 为常量，又称为偏角 杆长ai及扭角i 一般均为常数 一般情况下 ai、i、i、di四个参数中，有三个是常量 ，一个是变量。No.742).固联坐标系建立在上关节上的模式前置模式2.机器人杆件上坐标系的确定 Zi轴与i+1号关节轴线重合。 Oi 在i+1号关节轴线上 i，di总总是设设置在i号关节节 轴线轴线 上，与Z轴轴如何设设置无关 。杆的扭角设设置在Oi点处处关节轴公垂线与关节轴线交点分别为C与O。 Zi轴轴可设设置在i号关节轴节轴 线线上，此时时Zi轴轴脚标标i与关节节 轴线轴线 号i相同。Zi轴轴也可设设置 在i+1号关节轴线节轴线 上。此时时Zi 轴轴脚标标i与关节轴线节轴线 号i+1是 不同的。 No.753.确定两杆件齐次变换矩阵的方法*第一种A矩阵 两相邻杆坐标 系的齐次变换 矩阵-A矩阵 后置模式 *第二种A矩阵n上关节(前置)模式 li的坐标架相对于li-1的 坐标架的变换组合*是n个关节变量的函数-机械手运动学方程 *表示末端连杆的位姿与关节变量之间关系 4.机器人运动学方程确定了变换矩阵确定了变换矩阵顺序相乘得到顺序相乘得到- -
