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1、傅里叶变换各种形式的对比讨论 2011-10-21 13:10:19| 分类： 通信 | 标签：通信 傅里叶变换 |字号 大中小 订阅 1. 傅里叶变换的集中形式及应用傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成几种不同的变换对。（1）非周期的连续时间，连续频率-傅里叶变换正变换X(j)=-,+x(t)*exp-jt dt反变换x（t）=1/2-,+ X(J)*ejt dt练习一：时域函数：连续时间矩形脉冲频域：连续频率的非周期函数（2）周期的连续时间，离散频率- 傅里叶级数周期为 T0 的 时间信
2、号 x(t) 的傅里叶级数展开的系数为 X(jk0),构成的傅里叶变换对如下：正变换X(jk)= -T0/2,+T0/2x(t)*exp-jk0t dt反变换X(t)= k=-,+ X(jk0)*expjk0t式中 X(jk0)是以角频率 0 为间隔的离散函数形成频域的离散频谱，0 与时间信号的周期之间的关系为 0=2F=2/T0.傅里叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为 0 整数倍的谐波，k 为各次谐波序号。练习二时域：连续时间周期矩形脉冲频域：非周期的频域结论：时域的周期性对应于频域的离散性（3）非周期的离散时间、连续频率-序列的傅里叶变换非周期离散时间信号的傅里叶变换就是序
3、列的傅里叶变换正变换X(ej)= n=-,+x(n) ejn反变换 x(n)=1/2-,+X(ej) ejn d 式中， 是数字频率如果序列 x(n)是模拟信号 x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为 Ts,抽样频率为 fs=1/TS,抽样角频率为 s=2/Ts，由于数字频率 与模拟角频率 之间的关系为 =Ts，因此抽样数字频率 s=sTs=2，则上面的变换对也可写成正变换X(ejT)= n=-,+x(nT) ejnT反变换x(nT)=1/s-s/2,+ s/2X(ejT) ejnT d练习三时域：对连续时间矩形脉冲按照 Ts 为周期进行采样频域：以 s 为周期严拓结论：时域的离散造成频域的周期
4、严拓，时域的非周期性对应于频域的连续性（4）离散时间，离散频率-离散傅里叶变换由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换。前面的讨论已经得出结论：时域的周期性导致频域的离散性，时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散性造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。如果序列 x
5、(n)是模拟信号 x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为 Ts,则频率函数的周期为 s=2/ Ts,如果频率函数也是离散的，其采样间隔为 0，则时间函数的周期为 T0=2/0，当时间函数序列一个周期内的抽样点数为 N 时，有N=T0/TS=s/0表明在频域中频谱函数的一个周期内的抽样点数也为 N，即离散傅里叶变换的时间序列和频率序列的周期都是 N，可以得到表示于一个周期内的常用的离散傅里叶变换对如下：正变换X(k)= n=0,N-1x(n) e-j2/Nnk反变换x(n)=1/Nn=0,N-1X(k) ej2/Nnk时域：对周期矩形脉冲信号以 TS 为周期进行抽样，得到离散时间序列频域：是傅里叶
6、级数以周期 S 的延拓（5）傅里叶变换形式的归纳 时域 频域连续性和非周期性 非周期性和连续性连续性和周期性 T0 非周期性和离散型（0=2/ T0）离散型和非周期性 周期性 S=2/ TS 和连续性离散型 Ts 和周期性 T0 周期性 S=2/ TS 和离散型 0=2/ T0由于长度为 N 的有限长序列可以看做是周期为 N 的周期序列的一个周期，因此利用 DFS 计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅里叶变换正变换X(k)= n=0,N-1x(n) e-j2/Nnk= X(k)= n=0,N-1x(n) WNexpnkx(n)=1/Nn=0,N-1X(k) WNexp-nk定义
7、几个与 X(k)相关的序列幅度谱 A(k)=|X(k)|相位谱 (k)=arctanXI(k)/ XR(k)功率谱 S(k)=A(k)*A(k)2.离散傅里叶变换的物理意义及隐含的周期性（1）物理意义设 x(n)是长度为 N 的有限长序列，则其傅里叶变换，Z 变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示X(ej)= n=0,N-1x(n) ejn X(z)= n=0,N-1x(n)z-nX(k)= n=0,N-1x(n) e-j2/Nnk单位圆上的 Z 变换就是序列的傅里叶变换离散傅里叶变换是 x(n)的频谱 X(ej)在0,2上的 N 点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是 DFT
8、的物理意义.（2） DFT 隐含的周期性DFT 的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上 DFT是从 DFS 引申出来的,它们的本质是一致的,因此 DTS 的周期性决定 DFT 具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性(1) 从序列 DFT 与序列 FT 之间的关系考虑 X(k)是对频谱 X(ej)在0,2 上的 N 点等间隔采样，当不限定 k 的取值范围在0,N-1时，那么 k 的取值就在0,2以外，从而形成了对频谱 X(ej)的等间隔采样。由于 X(ej)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列(2)
9、 从 DFT 与 DFS 之间的关系考虑。X(k)= n=0,N-1x(n) WNexpnk，当不限定 N 时，具有周期性(3) 从 WN 来考虑，当不限定 N 时，具有周期性用 DFT 对模拟信号进行谱分析在工程实际中经常遇到的模拟信号 xn(t),其频谱函数 Xn(j)也是连续函数，为了利用 DFT 对 xn(t)进行谱分析，对 xn(t)进行时域采样得到 x(n)= xn(nT),再对 x(n)进行 DFT，得到 X(k)则是 x(n)的傅里叶变换 X(ej)在频率区间0,2 上的 N 点等间隔采样，这里x(n)和 X(k)都是有限长序列然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是
10、无限宽的，反之，弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足 DFT 的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用 DFT 对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度模拟信号 xn(t)的傅里叶变换对为X(j)=-,+x(t)*exp-jt dtx（t）=1/2-,+ X(J)*ejt dt用 DFT 方法计算这
11、对变换对的方法如下：（a）对 xn(t)以 T 为间隔进行采样，即 xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于tnT,dtT, -,+n=-,+因此得到X(j)n=-,+x(nT)*exp-jnT*Tx（nT）1/20, s X(J)*ejnT D（b）将序列 x(n)= xn(t)截断成包含有 N 个抽样点的有限长序列X(j)Tn=0,N-1x(nT)*exp-jnT*T由于时域抽样，抽样频率为 fs=1/T,则频域产生以 fs 为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为 fs=1/T（c）为了数值计算，频域上也要抽样，即在频
12、域的一个周期中取 N 个样点，fs=NF0,每个样点间隔为 F0，频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时间周期为 T0=1/F0。因此有k0，d0 ，-,+ dn=-,+0T0=1/F0=N/fs=NT0=2F00T=0/fs=2/NX(jk0)Tn=0,N-1x(nT)*exp-jk0nT3.应用中需要注意的若干问题（1）时域和频域混叠根据采样定理，只有当采样频率大于信号最高频率的两倍时，才能避免频域混叠。实际信号的持续时间是有限的，因而从理论上来说，其频谱宽度是无限的，无论多大的采样频率也不能满足采样定理。但是超过一定范围的高频分量对信号已
13、没有多大的影响，因而在工程上总是对信号先进性低通滤波 另一方面，DFT 得到的频率函数也是离散的，其频域抽样间隔为 F0，即频率分辨力。为了对全部信号进行采样，必须是抽样点数 N 满足条件N=T0/T=fs/F0从以上两个公式来看，信号最高频率分量 fc 和频率分辨力 F0 有矛盾。若要 fc 增加，则抽样间隔 T 就要减小，而 FS 就要增加，若在抽样点数 N 不变的情况下，必然是 F0 增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加记录长度内的点数 N，在 fc 和 F0 给定的条件下，N 必须满足N2fc/F0（2）截断效应在实际中遇到的序列 x(n)，其长度往往是有限长，甚至是无限长，用 DF
14、T 对其进行谱分析时，必须将其截断为长度为 N 的有限长序列Y(n)=x(n).RN(n)根据频率卷积定理Y(ej)=1/2x(ej)*H(ej)|=0)&(n4);X1k=fft(xn,N1);X2k=fft(xn,N2);subplot(3,2,1);plot(w/pi,abs(Xw);xlabel(w/)subplot(3,2,2);plot(w/pi,angle(Xw);axis(0,2,-pi,pi);line(0,2,0,0);xlabel(w/)subplot(3,2,3);stem(k1,abs(X1k),.);xlabel(k(w=2k/N1);ylabel(|X1(k)|)
15、;hold onplot(N1/2*w/pi,abs(Xw)subplot(3,2,4);stem(k1,angle(X1k);axis(0,N1,-pi,pi);line(0,N1,0,0);xlabel(k(w=2k/N1);ylabel(Arg|X1(k)|);hold onplot(N1/2*w/pi,angle(Xw)subplot(3,2,5);stem(k2,abs(X2k);axis(0,N1,-pi,pi);line(0,N1,0,0);xlabel(k(w=2k/N2);ylabel(|X2(k)|);hold onplot(N2/2*w/pi,abs(Xw)subplot(3,2,6);stem(k2,angle(X2k),.);xlabel(k(w=2k/N2);ylabel(|X2(k)|);hold onplot(N2/2*w/pi,angle(Xw)
