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1、排列组合解题技巧综合复习教学目的 教学过程 课堂练习课堂小结制作者：艾华勇1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧;3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.一 复习引入二 新课讲授排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.例题1例题6例题5例题4例题3例题2从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组
2、合.3.排列数公式:4.组合数公式:1.排列的定义:排列与组合的区别与联系:与顺序有关的 为排列问题,与顺序无关的为组合问题.例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张 。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互 不相邻，共有多少种不同的坐法？解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种. 结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.分析 此题涉及到的是不相邻
3、问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题.例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有 种排法,其中女生内 部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排 法.结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,
4、因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题.例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以 名额分配方案有 种.结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较 抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为 简单的、具体的问题来求解.分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,
5、方法简单,结果容易理解.例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个 ,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 种取法. 结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题.例5 期中安排考试科目
6、9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序?解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是 相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性.例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、
7、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部 书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书 记至少有1人在内的抽法有 种. 结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数 （1）分为两组，一组7人，一组5人；
8、（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人 互斥分类-分类法 先后有序-位置法 反面明了-排除法 相邻排列-捆绑法 分隔排列-插空法 小结:本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法 ,排异法;对于不同的题目,
9、根据它们的条件,我们就可 以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问 题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速 准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法, 例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在 应用中注意掌握.优游开户 优游开户 lqu59hmo 答父亲的嘱咐。然而没有想到的是，年近花甲的李妻竟然由于过度思念亡夫，茶饭不思日渐衰弱下去了。儿女们虽然苦心劝慰 但终不见任何效果，最后尽自苦闷成疾，也不幸在李长善故去仅仅半年之后，就撒手随夫西去了。临终之前，老人家再次提醒 尚武不要忘记亡父的临终嘱咐，一定要带上远儿跟随耿兰北上，好让贤惠的儿媳可以与亲生父母长相照应
10、，尚武也好为义父尽 再生之孝道。适时，耿兰已经再次身怀六甲。安葬了慈善的老人之后，尚武和哥哥嫂子忙着秋收、秋打和秋晒、秋储，耿兰则 一边帮着兄嫂照顾看护一双儿女和带自家年幼的远儿，一边安心养胎。半年之后，耿兰又顺利诞下一个漂亮的女儿，尚武为爱 女取名李思，家人都喊她思儿。耿兰的心里自然明白，尚武为爱女取这个名字应该是具有双重含义的，其中既表达了对爱妻苦 苦思念千里迢迢之外骨肉亲人的深深歉意，更多的也许是有待将来全家北上之后，自己对于江南故乡和手足兄姐的深切思念， 以及自己从此以后不可能常为已故爹娘上坟扫墓的无尽遗憾了。坐在一边为思儿喂奶的耿兰，看到嫂子用尚武当年带回来的凿 镰刀，熟练地从一个个
11、留种用的大土豆上挖下来一块儿又一块儿一寸大小，三角形状的种块儿放在大笸箩里，然后滚上一层草 木灰，再将它们轻轻地挪进大竹筐里。四个大竹筐都装满了，尚武和哥哥各挑两筐，高高兴兴地到坡地上种去了。嫂子就把挖 剩下那些没有芽眼儿了的土豆块儿洗干净了，或红烧，或切得细细的做成醋溜土豆丝。耿兰从嫂子做的这些土豆菜中，真就吃 出了从小熟悉不过的味道！土豆种下去三个多月后，原先碧绿的叶子开始慢慢发黄，说明生长在地下的土豆已经成熟了。于是 ，尚武和哥哥高高兴兴地把一大窝一大窝的土豆刨出来用大箩筐装了，赶着家里的那两头大骡子一趟又一趟地驮了回来。耿兰 惊喜地发现，这些土豆和老家“三六九镇”上的土豆竟然长得一模一
12、样！家里储存得足够多了，兄弟俩就将多余的土豆或送人 或推销出去。每当送人或推销时，他们都会如数家珍一般地告诉对方怎么种植、怎么食用姐姐尚英一家人也很喜欢吃土豆 ，于是，姐夫就在自家的坡地上也种了好几亩。姐夫越来越会种这种来自北方的作物了，他家土豆的产量一年比一年高。一日 晚饭后姐姐一家人过来闲聊，耿兰听到姐夫跟大舅哥和小舅子在一旁商量，准备合伙开一个粉坊，专门制作纯土豆粉条呢！赶 那年的年底之前，他们合伙开的粉坊果然开展了！虽然说是初学制作，但按照耿老爹那本小册子上写得制作程序和方法，他们 试做得第一批粉条居然象模象样的！以后，他们就在每年的农闲时节，利用自家种的土豆制作一些。一开始制作时，成品只作 为自家人食用。以后做得多了，也会挑到镇上销售一些。当地的人们
