计量经济学--时间序列计量模型

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1、第八章 时间序列计量模型第一节 时间序列的基本概念一、时间序列数据的平稳性随机变量是刻画随机现象的有力工具。 随机变量的动态变化过程称为随机过程。 一般地，对于每一特定的t（tT），Yt为 一随机变量，称这一族随机变量Yt为一个 随机过程。若T为一连续区间，则Yt为连 续型随机过程。若T为离散集合，则Yt为离散型随 机过程。离散型时间指标集的随机过程通常 称为随机型时间序列，简称为时间序 列。经济分析中常用的时间序列数据都 是经济变量随机序列的一个实现。时间序列的平稳性（stationary process）是时间序列经济计量分析中的 非常重要问题。时间序列的平稳性是指 时间序列的统计规律不会

2、随着时间的推 移而发生变化。就是说产生变量时间序 列数据的随机过程的特征不随时间变化 而变化。用平稳时间序列进行计量分析，估计 方法和假设检验才有效。 GDP的时间序列1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y818547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6一个平稳的时间序列过程的概率分布 与时间的位移无关。如果从序列中任意 取一组随机变量并把这个序列向前移动h 个时间，其联合概率分布保持不变。这 就是严格平稳的含义，其严格定义如下:平

3、稳随机过程：对一个随过程 Yt:t=1,2, h为整数，如 的联合分布与 的联合分 布相同，那么随机过程Yt就是平稳的。平稳性的特征就是要求所有时间相邻 项之间的相关关系具有相同的性质。判 断一个时间序列数据是否产生于一个平 稳过程是很困难的。通常而言，时间序 列数据是弱平稳的就足够了。因此，弱 平稳是时间序列分析中的常用平稳性概 念。弱平稳也称为协方差平稳过程。弱平稳是指随机过程Yt的均值和方差 不随时间的推移而变化，并且任何两时 期之间的协方差仅依赖于该两时期的间 隔，而与t无关。即随机过程Yt满足(1)均值 ，为与时间t 无关的常数 。 (2)方差 为与时间t无关的常数。 (3)协方差

4、，只与时间间隔h有 关，与时间t无关。则称Yt为弱平稳过程。在时间序列计量 分析中，平稳过程通常指的是弱平稳。如果一个时间序列是不平稳的，就称它 为非平稳时间序列。也就是说，时间序 列的统计规律随时间的推动而发生变化 。此时，要通过回归分析研究某个变量 在跨时间区域的对一个或多变量的依赖 关系就是困难的，也就是说当时间序列 为非平稳时，就无法知道一个变量的变 化如何影响另一个变量。在时间序列计量分析实践中，时间序列 的平稳性是根本性前提，因此，在进经 济计量分析前，必须对时间序列数据进 行平稳性检验。二、平稳性的单位根检验时间序列的平稳性可通过图形和自相关函数 进行检验。在现代，单位根检验方法

5、为时间 序列平稳性检验的最常用方法。1.单位根检验（unit root test）时间序列中往往存在滞后效应，即前后 变量彼此相关。对于时间序列Yt而言，最 典型的状况就是一阶自回归形式AR（1） ，即Yt与Yt-1 相关，而与Yt-2 , Yt-3 ，无 关。其表达式为（8.1） 其中，vt为经典误差项，也称之为白噪声。如果式（8.1）中=1，则（8.2）式（8.2）中Yt称为随机游走序列。随机 游走序列的特征为: Yt以前一期的Yt-1为 基础，加上一个均值为零且独立于Yt-1的 随机变量。随机游走的名字正是来源于它 的这个特征。 对式（8.2）进行反复迭代，可得（8.3）对式（8.3）取

6、期望可得（8.4）随机游走时间序列的期望值与t无关。假定Y0非随机，则 ，因此（8.5）式（8.5）表明随机游走序列的方差是时 间 t 的线性函数，说明随机游走过程是非 平稳的。表达时间序列前后期关系的最一般模型为m 阶自回归模型AR（m）。(8.6)引入滞后算子L，（8.7）则式(8.6) 变换为（8.8）记为 则称多项式方程为AR（m）的特征方程。可以证明，如果 该特征方程的所有根在单位圆外（根的模 大于1），则AR（m）模型是平稳的。对于AR（1）过程。（8.9）vt为经典误差项，如果1，则Yt有一 个单位根，称Yt为单位根过程，序列 Yt是非平稳的。因此，要判断某时间 序列是否平稳可通

7、过判断它是否存在 单位根，这就是时间序列平稳性的单 位根检验。n检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检 验一阶自回归模型中的参数是否小于1。 或者检验另一种表达形式（8.10）中参数是否小于0。式（8.9）中的参数=1时，时间序列Yt是 非平稳的。式（8.10）中，=0时，时间 序列Yt是非平稳的。2.DF检验要检验时间序列的平稳性，可通过t检验 完成假设检验。即对于下式（8.11）要检验该序列是否含有单位根。设定原假设 为:=1，则 t 统计量为（8.12）但是，在原假设下（序列非平稳），t 不 服从传统的 t 分布，因此 t 检验方法就 不再适用。Dickey和Fuller于1976年提

8、出了这一情况下 t 统计量服从的分布（ 此时表示为统计量），即DF分布，因 此该检验方法称为DF检验。该方法采用OLS法估计式（8.11），计算 t 统计量的值，与DF分布表中给定显著 性水平下的临界值比较。如果 t 统计量的 值小于临界值（左尾单侧检验），就意 味着足够小，拒绝原假设:=1，判别时 间序列Yt不存在单位根，是平稳的。Dickey和Fuller研究认为DF检验的临 界值与数据序列的生成过程以及回归 模型的类型有关。因此，他们针对以 下三种模型编制了DF分布表。(1)一阶自回归模型（8.13）（2）包含常数项的模型（8.14）（3）包含常数项和时间趋势项的模型（8.15）DF检验

9、常用的表达式为如下的差分表达式，即DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即（8.16） 令1，则（8.17）同理，可得另外两种模型为（8.18）（8.19）对于式（8.17）、（8.18）、（8.19）而言 ，对应的原假设和备择假设为（非平稳）（平稳） DF检验的判别规则是：DF临界值，则Yt 非平稳，Dp时， 。偏自相关函数在滞后期p 以后具有截尾特性，因此可以用此特性识 别AR(p)过程的阶数。对于AR(1)过程，当 k1时， ，当k1时， 。所以 AR(1)过程的偏自相关函数特征是在k1 时出现峰值（ ），然后截尾。在实际识别时，由于样本偏自相关函数是总体偏自相关函数 的一个估计，因为

10、样 本波动，当kp时， 不会全为0，而是在0的左右波动。可以证明，当kp时， 服从渐近正态分布： N(0,1/n), n为样本容量。如果样本偏自回归函数 满足 ,就可以以95.5的置信水平判断该时间序列在kp后截尾。（三）MA(q)过程的识别1. 用自相关函数ACF识别对于MA(1)过程（8.40） 有当k0时当k1时当k1时因此，MA(1)过程的自相关函数为（8.41）由式（8.41）可以看出，MA(1)过程的自相关 函数具有截尾特征。当k1时， 。 同理，MA(q)过程的自相关函数也具有截 尾特征。当kq时，自相关函数呈衰减特 征。当kq时，自相关函数为0，具有截尾特征。在实际识别时，由于

11、样本自相关函数 是总体自相关函数 的一个估计，因为样本波动，当kp时， 不会全为0，而是在0的左右波动。可以证明，当kp时， 服从渐近正态分布： N(0,1/n),n为样本容量。如果样本自回归函数 满足 ,就可以以95.5的置信水平判断该时间序列在kp后截尾。2.用偏自相关函数PACF识别MA(1)过程可以表达为关于无穷序列 的线性组合，即（8.42）这是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但确趋于0，因此MA(1)偏自相关函数是拖尾但却趋于0. 在式（8.42）中， 只有时才有意义，否则就表示距离越远的Y值对的影响越大，这是不符合常理的。所以， 是MA(1)的可逆性条件（invertib

12、ility condition）或可逆性。因为任何一个可逆的MA(q)过程都可以转 换成一个无限阶的、系数按几何级数衰减 的AR过程，所以MA(q)过程的偏自相关函 数呈缓慢衰减特征，称为拖尾特征。MA(1)过程的偏自相关函数呈指数衰减特 征。若 ，偏自相关函数呈交替改变符 号式衰减；若 ，偏自相关函数呈负数 的指数衰减。对于MA(2)过程，若特征方程的根是实数，偏自相关函数由两个指数衰减形式叠加而成。特征方程的根是虚数若 ，偏自相关函数呈正弦衰减特征（拖尾特征）。（四）ARMA(p,q)过程的识别ARMA(p,q)的自相关函数可以视为AR(p)的自相关函数和MA(q)的自相关函数的混合物。当

13、p0时，它具有截尾性质，当q0时，它具有拖尾性质，当p,q都不为0时，它具有拖尾性质。对于ARMA(1,1)过程，自相关函数从 开 始衰减。 的大小取决于 和 。若 ，指数衰减是平滑的，或正或负。若 ，自相关函数为正负交替式指数衰减。对 于高阶的ARMA过程，自相关函数的表现 形式比较复杂，有可能呈指数衰减、正弦 衰减或二者的混合衰减。ARMA(p,q)过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与MA(q)过程的偏自相关函数类似。据模型中移动平均分量的阶数q和参数 的不同，偏自相关函数呈指数衰减和正弦衰减混合形式。对于时间序列数据，自相关函数通常是未 知的。相关图是对自相关函数的估计。因 为

14、MA过程和ARMA过程中MA分量的自 相关函数具有截尾特性，所以可以利用相 关图估计MA过程的阶数q。相关图是识别 MA过程和ARMA过程中MA分量阶数的 重要方法。对于时间序列数据，偏自相关函数通常是 未知的。偏相关图是对偏自相关函数的估 计。因为AR过程和ARMA过程中AR分量 的偏自相关函数具有截尾特性，所以可以 利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。 偏相关图是识别AR过程和ARMA过程中 AR分量阶数的重要方法。三、随机时间序列模型的建立 对于时间序列模型，完成了平稳性检验和 模型识别后就可以估计模型参数建立计量 模型。时间序列模型的建立主要有以下三 个步骤。第一步，进行模型识别。第二

15、步，模型参数的估计。对AR(p)模型的估计较简单。因为滞后变 量都是t期以前的，这些滞后变量与误差 项相互独立，所以可以使用普通最小二乘 法估计模型参数，得到具有一致性的估计 量。对于MA(q)和ARMA(p,q)模型的估计就比 较困难。不能简单的用最小二乘法估计参 数，一般应该采用迭代式的非线性最小二 乘法，这些方法在流行的经济计量分析软 件中的广泛使用。完成模型的识别与参数估计后，应对估计 结果进行诊断与检验，以求发现所选用的 模型是否正确。若不合适，应该知道下一 步怎样修改。这一阶段主要检验拟合的模型是否正确。 一是检验估计值是否具有统计显著性；二 是检验残差序列的随机性。参数估计值的显著性检验是通过t统计量 完成的，而模型拟合的优劣以及残