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1、自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha4.14.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.24.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则4.34.3 广义根轨迹广义根轨迹4.44.4 系统性能的复域分析系统性能的复域分析4.54.5 基于基于MatlabMatlab的根轨迹分析的根轨迹分析4.6 本章小结本章小结1自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South Un
2、iversity, Changsha4.14.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念例4-1 某单位负反馈系统的开环传递函数 为试分析当该系统的特征方程的根随系统参数K的变化在 s平面上的分布情况。解：系统的特征方程为s2+2s+K=0。 其闭环极点为：可画出当 K:0时的系统特征根在S平面上的运动曲线(变化轨 迹)，称这条曲线为系统的根轨迹，如图4-1所示。KG0(s)= s(s+2)2自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha图4-1 例4-1的根轨迹
3、 Q1：由图可得什么结论 Q2：高阶系统的根轨迹如何绘制0jw-2K=0K=00p2p10(s+p1)(s+p2)32自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changshau2+2zu+v2+(p1+p2)z-p1p2=0(u+z)2+v2=(z-p1)(z-p2)这是圆方程，证毕。由两个开环极点和一个开环实零点组成的二阶系 统，只要实零点没有位于两个实极点之间，则复 平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实 零点到分离点的距离为半径的一个圆(开环极点为 实极点时)或
4、圆的一部分(开环极点为一对共轭复数 极点时)，如下图示。33自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha例4-4: 系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定 时K1的值。解：(1) 渐近线：3条。渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点：（2）分离点：即（舍去）34自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha（3）与虚轴的交点 系统的特
5、征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得实部方程:虚部方程： 解得： (舍去)35自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha（4）确定 时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A，使得 ， 测量得:求得36自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, ChangshaA点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: K1=44.5时另
6、外两个极点 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17 。37自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha4.34.3 广义根轨迹广义根轨迹4.3.14.3.1 参数根轨迹参数根轨迹前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规 则是以开环根轨迹增益K为可变参数的，大多数系 统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便 起见，或着重研究某个系统参数(如时间常数、反 馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数 作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环
7、根轨增 益K作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或 广义根轨迹)。 参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益K对系统性能 的影响是很方便的。38自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha绘制参数根轨迹的方法：先根据系统的特征方程1+G0(s)=0求出系统的等效 特征方程1+G0(s)=0，使G0(s)与绘制普通根 轨迹的开环传递函数有相同的形式；根据绘制普通根轨迹的基本规则和等效开环传递函 数G0(s)绘制出系统的参数根轨迹。39自动控制原理第四章 根轨迹法Sc
8、hool of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha例4-5: 试绘制以 T 为可变参数的根轨迹。已知系统的 开环传递函数为解：系统的特征方程为Ts2(s+1)+s2+s+2=0，可将其化 为如下形式：由G0(s)按照规则(普通根轨迹)来 绘制参数根轨迹(如图4-6所示，具 体工作请自己完成)。-1Tc=1图4-6 例4-5系 统的根轨迹图2G0(s)= s(Ts+1)(s+1)Ts2(s+1)1+G0(s)=1+ =0s2+s+240自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy S
9、cience and Engineering, Central South University, Changsha4.3.24.3.2 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹正反馈系统的特征方程是1-G(s)H(s)=0 即G(s)H(s)=1由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件 和相角条件分别为： |G(s)H(s)|=1 (4-11) G(s)H(s)=2kp (k=0,1,2,) (4-12)与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相 比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同 。正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。41自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Sci
10、ence and Engineering, Central South University, Changsha基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改 ： 正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角2kpja= (0,1,n-m-1)(4-13)n-m正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开 环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 正反馈系统的起始角和终止角为：(4-14)(4-15)42自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha例4-6:
11、试绘制分别为负反馈及正反馈时的根轨迹图，已 知其开环传函为解：分别根据180o与0o根轨迹规则进行绘制，计算 结果如表4-1所示，根轨迹如图4-7所示。 表4-1 例4-5计算结果渐渐近线线实轴实轴 上 根轨轨迹分离点与虚轴轴 交点负负反馈馈a=-1 q=60,180o(-,-2 -1,0-0.42w=1.414 K=6正反馈馈a=-1 q =120,0o-2,-1 0,+-1.58无KG0(s)= s(s+1)(s+2)43自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Cha
12、ngshaa)负反馈 b)正反馈 图4-7 例4-5题图-2-1jw60o-2S-Plane-1jw120o稳定域： 0a0)p1,2=0,p3=-a z=-b(b=a0)p1,2=0,p3=-a z=-b(00a=0a=0.5(b-a)ab=aba，b=a，bpc，则能够提高系 统的开环增益，在不影响动态性能的同时提高稳态性能。58自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha例4-10: 绘制根轨迹图，确定使闭环特征根的阻尼比x=0.5时的K值，并计算此时系
13、统的动态性能指标。已知系统的开环传函为解 绘制系统的根轨迹(图4-12)；系统稳定性分析：由根轨迹图知，有两条分支从S 平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴 的交点wC=3.16，对应的临界开环根轨迹增益KC=60 ，故其稳定域为05， 这说明s1、s2 是系统的主导极点。61自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha满足阻尼比x=0.5时系统的闭环极点位置s13及相应K亦 可这样求【解析法】 s13是特征方程s3+6s2+10s+K=0的根，则：
14、 (s-s1)(s-s2)(s-s3)=s3+6s2+10s+K，由题意有： (s2+2as+4a2)(s-s3)= s3+6s2+10s+K2a-s3=6 4a2-2as3=10 -4a2s3=Ka=0.833 【5/6】 s3=-4.33【13/3】 K=12.04【325/27】62自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha故，该系统可近似成由闭环主导极点构成的一个二 阶系统，x=0.5，wd=1.44，xwn=0.83，由此可求出 系统的各项动态指标
15、如下：63自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha绘制出系统的根轨迹图。 根据根轨迹进行稳定性分析。 计算系统的瞬态响应指标： 对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确 定对应参数的闭环极点；对于高阶系统，常用作 图法(如作等x线等)求出系统的主导极点(如果存在 的话)，将高阶系统近似地简化成由主导极点构成 的二阶系统，最后求出其各项性能指标。如果求 出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极 点的条件，需进一步考虑和分析这些闭环零、极 点对系统瞬态响应性能指标的影响。系统的根轨迹分析步骤64自动控制原理第四章 根轨迹法School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha按根轨迹校正反馈系统用根轨迹校正反馈系统步骤如下： 根据给定的性能指标确定闭环主导极点及开环增 益； 绘制未校正系统的根轨迹图；
