采样控制系统的分析与设计

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1、第8章 采样控制系统的分析与设计8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正8-1 引言 前面各章分析了连续控制系统，这些系统中的 变量是时间上连续的； 随着被控系统复杂性的提高，对控制器的要求 也越来越高，控制的成本随着数学模型的复杂 化而急剧上升模拟实现； 随着数字元件,特别是数字计算机技术的迅速 发展，采样控制系统得到了广泛的应用； 在采样控制系统中,有一处或多处的信号不是 连续信号,而在时间上是离散的脉冲序列或数 码,这种信号称为采样信号。典型的采样系统 计算机直接数字控制系统 上面控制系统

2、框图 实际控制系统中是不存在采样开关的。 计算机控制系统的优点： 1、有利于实现系统的高精度控制； 2、数字信号传输有利于抗干扰； 3、可以完成复杂的控制算法，而且参数修 改容易； 4、除了采用计算机进行控制外，还可以进 行显示，报警等其它功能； 5、易于实现远程或网络控制。 采样控制系统也是一类动态系统； 该系统的性能也和连续系统一样可以分为 动态和稳态两部分； 这类系统的分析也可以借鉴连续系统中的 一些方法，但要注意其本身的特殊性； 采样系统的分析可以采用Z变换方法，也 可以采用状态空间分析方法。8-2 信号的采样与复现1、采样：把连续信号变成脉冲或数字序列的过 程叫做采样； 2、采样器：

3、实现采样的装置，又名采样开关； 3、复现：将采样后的采样信号恢复为原来的连 续信号的过程； 4、采样方式： （1）等周期采样：（2）多阶采样：采样是周期性重复的（3）多速采样：有两个以上不同采样周期 的采样开关对信号同时进行采样（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固 定的规律 一个连续信号经采样开关变成了采样信 号 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可 得采样后 的采样信号为1、信号的采样过程是理想脉冲出现的时刻因此采样信号只在脉冲 出现的瞬间才有数值， 于是采样信号变为 因此采样过程可以看作一个调制过程。 采样信号的调制过程 考虑到 时，

4、 因此，可以将原来采样信号表达式变为如下 形式：将窄脉冲看作理想脉冲的条件是采样持续时间远远 小于采样周期和被控对象的时间常数2、采样定理 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的， 采样后的信号 取该信号的拉氏变换,并令 :说明采样后信号频谱是以s为周期的。采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！ 连续信号在时域上是连续的，但频域中 的频谱是孤立的； 连续信号采样之后，具有以采样角频率为周期的无限多个频谱。采样信号的频谱 采样定理：为使采样后的脉冲序列频谱互不搭 接，采样频率必须大于或等于原连续信号所含 的最高频率的两倍，这样方可通过适当的理想 滤波器把原信号毫无畸变的复现出来。 香农定理的物

5、理意义是：满足香农定理的采样 信号中含有连续信号的信息，该信息可以通过 具有低通滤波特性的滤波器复现出来。3、零阶保持器 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。 理想滤波器可以将采样信号恢复成连续信号； 理想滤波器是物理上不可实现的，因此要寻找 一种物理上可实现，特性上又接近于理想滤波 器的设备保持器。 采样信号只在采样点上有定义, e*(KT)和 e*(K+1)T)都是有定义的,但是在这两者之间 的时间段上连续信号应该是什么样子呢? 这就是保持器要解决的问题. 保持器是一种时域外推装置，即将过去时刻或现在时 刻的采样值进行外推。 通常把按照常数、线性函数和抛物线函

6、数外推的保持 器称为零阶、一阶和二阶保持器。 如果取 则当前时刻的采样值将被保持到下一个采样时刻. 这种保持器称为零阶保持器. 如何用数学语言描述这 种特性呢? 零阶保持器:把采样时刻KT的采样值不增不 减地保持到下一个采样时刻（K1）T。零阶保持器的输入和输出信号 由于在采样时刻 故保持器的输出 拉氏变换为 零阶保持器的传递函数为 零阶保持器的传递函数为 零阶保持器的频率特性为 零阶保持器的频率特性如图所示 零阶除了允许主频谱分量通过之外，还 允许一部分附加高频分量通过。因此复 现出的信号与原信号是有差别的。4、小结 采样控制系统的结构； 计算机控制的采样系统的优点； 采样过程和采样定理；

7、零阶保持器的传函和特性。8-3 Z变换与反变换 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。 Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 连续信号f（t）经过采样得到采样信号 f*（t）为 其拉普拉斯变换为 定义新的变量 采样信号的Z变换 有1、常用的Z变换方法 级数求和法： 将采样信号f *（t）展开如下对上式逐项进行拉普拉斯变换，得在一定条件下，常用函数的Z变换都能够写成闭合形式

8、。 【例1】求单位阶跃函数1（t）的Z变换。解： 单位阶跃函数的采样脉冲序列为 代入E(z)的级数表达式，得对上列级数求和，写成闭合形式，得 部分分式法当连续信号是以拉普拉斯变换式F（S）的形式给出,且F（S）为有理函数时,可以展开成部分分式的形式，即 可得与其对应的z变换为 由此可得F（S）的z变换为 对应的时域表达式【例2】已知，试求其Z变换.解 将G（s）展开成部分分式 其对应的时域表示式为 两个时域信号的叠加 留数法设连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F（S）及其全部极点pi为 已知，可利用留数法求其Z变换F(z)，即 当s=pi为一阶极点时，其留数为 当s=pj为q阶极点时，其留数为

9、s=pi处的留数 式中为【例】求f（t）=t的z变换 t0 在s=0处有二阶极点，f(t)的z变换F(z)为 解：由于2、Z变换基本定理 1.线性定理若i为常数，则 线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等 于各时域函数z变换的线性组合。 设有连续时间函数 2.滞后定理 设e(t)的z变换为E（z），且t0时，e(t)=0,则滞后定理说明，原函数在时域中延迟k个采样周期求 z变换,相当于它的z变换乘以z-k。因此 z-k可以表示 时域中的滞后环节,它把采样信号延迟k个采样周期3. 超前定理4. 初值定理 设函数e(t)的z变换为E(z)，则 设e(t)的z变换为 E(z)，而且存在，则 5.

10、终值定理 6 .复数位移定理设函数e(t)的z变换为E(z)，且在z平面上的以原点为圆心的单位圆上和圆外均 没有极点，则设函数e(t)的z变换为E(z)，则3、Z反变换由E(z)求e*(t)过程称为z反变换，表示为 由于z变换只表征连续函数在采样时刻的特性, 并不反映采样时刻之间的特性,因此z反变换只能求 出采样函数e*(t),不能求出其连续函数e(t)。即有 常用的Z反变换方法 1、长除法将E(z)的分子、分母多项式按z的降幂形式排列, 用分子多项式除以分母多项式,可得到E(z)关于z-1的 无穷级数形式,在根据延迟定理得到e*(t)。对上式求z反变换,得 2、部分分式法将E(z)/z展开成

11、部分分式。由于在E(z)式中,分子表达式中通常含有z。得到部分分式后,再将z乘到各部分分式的分子部分,再查表进行反变换即可,所以也称为查表法。【例3】求的z反变换。解 将E (z)/z展开成部分分式为 则对应的时间函数e*(t)为 则有3. 留数法由z变换的定义有 用zm-1乘上式两端,得 根据复变函数理论,知 当z=pi为单极点时，其留数为 当z=pj为n重极点时，其留数为 4 差分方程 描述n阶线性连续系统的数学模型为微分 方程，而描述线性采样系统的教学模型 为差分方程。 差分的定义： 一阶前向差分定义为 二阶前向差分定义为 一阶后向差分定义为： 二阶后向差分定义为：前向和后向差分示意图【

12、例】 一阶采样系统的差分方程为 解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理 其中b为常数, 因为 所以 8-4 脉冲传递函数一、脉冲传递函数的基本概念 线性采样系统初始条件为零时,系统输出信号的 z变换与输入信号的z变换之比,称为线性采样系统的 脉冲传递函数,或简称为z传递函数。实际采样系统的输出信号通常是连续信 号,为了应用脉冲传递函数概念,可在系统的 输出端虚设一个同步采样开关,使输出成为 采样信号。 实际采样系统设输入脉冲序列为由叠加原理可求出系统对脉冲序列的响应为 根据z变换的卷积定理，上式的z变换为 式中：G(z)、R(z)、Y(z)分别为g(t)、r(t)、 y(t)的z变换。 即采

13、样系统脉冲传递函数为采样脉冲传函为连续系统的脉冲响应的Z变换脉冲传递函数和连续系统的传递函数一样表 征了采样系统的固有特性； 它除了与系统的结构、参数有关系，还与采 样开关在系统中的具体位置有关。1、两个环节有采样开关时根据脉冲传递函数的定义：当环节之间有采样开关时，等效脉冲传递函数为各串 联环节脉冲传递函数之积。该结论也可推广到n个环 节串联的情况二、串联环节的脉冲传函2、两个环节没有采样开关时当串联环节之间无采样开关时,系统脉冲传递函数 为各串联环节传递函数乘积的z变换。该结论可推 广到相互间无采样开关的n个环节串联的情况。3、有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 有零阶保持器时的开环采样

14、系统 三、闭环系统的脉冲传递函数闭环系统的误差脉冲传递函数 闭环系统脉冲传递函数为系统输出当系统有扰动作用时 ,可得闭环系统的误差与扰动间 的脉冲传递函数为 系统输出与扰动之间 的脉冲传递函数 ?由于系统中有采样器的存在， 所以一般情况下 例 设闭环采样系统结构图如图所示，试 证其闭环脉冲传递函数为 闭环采样系统结构图 对于有些采样控制系统，无法写出闭环 脉冲传递函数只能写出输出的Z变换8-5 采样系统的分析 稳定性分析 闭环极点分布与瞬态响应的关系 稳态误差分析1、采样稳定性分析1）稳定性的基本概念 稳定性是指在扰动的作用下，系统会偏 离原来的平衡位置，在扰动撤除后，系 统恢复到原来平衡状态

15、的能力； 根据稳定性的定义，可以采用脉冲响应 的情况来研究系统的稳定性； 系统的脉冲响应如果能够衰减到0，则系 统是稳定的； 否则系统是不稳定的。 采样系统的脉冲响应： 由Z反变换得 由上式可若 ，即系统的所 有极点位于Z平面的单位圆内，则2）稳定条件：采样系统稳定的充分必要条件是：系统闭环脉冲传递函数的所有极点位于Z平面上的单位圆内。或者说，所有极点的模都小于1,即 ，单位圆就是稳定 区域的边界。 S平面的左半平面 ，z的幅值在0 和1之间变化，对应z平面单位圆内； S平面的虚轴 ，对应z平面的单位 圆； 当 由 变到 时，3）s平面与z平面的映射关系 线性采样系统不能直接使用劳斯稳定判 据，因为采样系统稳定边界是z平面上以 原点为圆心的单位圆周，而不是虚轴。 为能使用劳斯判据，可将z平面上单位圆 周映射到新坐标系中的虚轴，这种变换 称为w变换，或称双线性变换。4）线性采样系统劳斯判据式中，z、w均为复变量，可分别写为 代入双线性变换公式，得w平面虚轴上的点对应于上式中实部为零的点，即 则设 z平面上单位圆内(x2+y21)对应着w平面实部 为负数的左半平面。z平面上单位圆外(x2+y2 1)对应着w平面实部为正数的右半平面。z平面 与w平面的映