第二章∶逻辑代数与逻辑函数

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1、第二章：逻辑代数与逻辑函数第二章：逻辑代数与逻辑函数 n 内容提要内容提要n n本章主要讨论分析和设计数字逻辑功能的数学。首先本章主要讨论分析和设计数字逻辑功能的数学。首先 介绍逻辑代数中的基本运算、基本公式，介绍逻辑代数中的基本运算、基本公式， 常用定理和常用定理和 重要规则；重要规则； 然后讲述逻辑函数的形式与转换；然后讲述逻辑函数的形式与转换； 最后介最后介 绍如何应用公式和定理化简逻辑函数绍如何应用公式和定理化简逻辑函数。n n2.1 2.1 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。为便于理解它们的含逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。为便

2、于理解它们的含 意，先来看一个简单的实例。图意，先来看一个简单的实例。图2.1.12.1.1中给出了三个指示灯的控中给出了三个指示灯的控 制电路。在图（制电路。在图（a a）电路中，只有当两个开关同时闭合时，指示电路中，只有当两个开关同时闭合时，指示 灯才会亮；在图（灯才会亮；在图（b b）电路中，只要有任何一个开关闭合，指示电路中，只要有任何一个开关闭合，指示 灯就亮；而在图（灯就亮；而在图（c c）电路中，电路中， 开关断开时灯亮，开关闭合时开关断开时灯亮，开关闭合时 灯反而不亮。灯反而不亮。图图2.1.12.1.1是三种逻辑运算关系是三种逻辑运算关系Y Y图图2.1.12.1.1 与、或

3、、非的含义与、或、非的含义ABABRA2.1.1 “2.1.1 “与与”逻辑运算及描述逻辑运算及描述 n n1.“1.“与与” ”逻辑表达式：逻辑表达式：F = AF = A B B 或或 F = A F = A B Bn n2.2.运算真值表：运算真值表：表表2.1.1 2.1.1 逻辑运算的真值表逻辑运算的真值表 A A B B F Fn n0 0 0 A 0 0 0 A n n0 1 0 B0 1 0 Bn n1 0 01 0 0n n1 1 11 1 1n n3 3. .图图2.1.2 2.1.2 与逻辑符号与逻辑符号 &FF2.1.2 “2.1.2 “或或”逻辑逻辑逻辑逻辑 运算及描

4、述运算及描述 n n1.“1.“或或” ”逻辑表达式：逻辑表达式：F = A+B F = A+B 或或 F = AF = AV VB Bn n2.2.逻辑运算真值表逻辑运算真值表n n3.3.逻辑符号逻辑符号: :n nA An nB BABF 000 011 101 1111FF2.1.3 “2.1.3 “非非”逻辑运算及描述逻辑运算及描述 n n1. 1. 逻辑表达式：逻辑表达式：F = F = 或或 F = F = A An n2.2.逻辑运算真值表：逻辑运算真值表：n n3.3.逻辑符号：逻辑符号：n nA F A FA F A FAF 01 1012.1.4 2.1.4 其它复合逻辑

5、运算及描述其它复合逻辑运算及描述 n n1.1.异或和同或异或和同或电路电路n n异或真值表异或真值表 同或真值表同或真值表n nA B F A B F A B F A B Fn n0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1n n0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0n n1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0n n1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 n nF = AF = AB F = ABB F = AB常用的复合常用的复合逻辑逻辑逻辑逻辑 运算运算：与非、或非、与或非与非、或非、与或非、异或、同或等、异或、同或等逻辑符号逻辑符号n n1 1、与非门、与非门

6、 2. 2.或非门或非门n n3.3.与或非与或非 4. 4.异或异或门门F = AB1F = A+B&1F = AB+CD=1 F =A B B2.1.5 2.1.5 逻辑逻辑逻辑逻辑 函数函数 n n在实际问题中，前面介绍的三种基本逻辑运算很少单在实际问题中，前面介绍的三种基本逻辑运算很少单 独出现，通常总是以这些基本逻辑运算构成各种复杂独出现，通常总是以这些基本逻辑运算构成各种复杂 的逻辑关系式。在数字系统的逻辑电路中，如果某一的逻辑关系式。在数字系统的逻辑电路中，如果某一 输出变量与一组输入变量存在着一定的对应关系，当输出变量与一组输入变量存在着一定的对应关系，当 输入变量取任意一组确

7、定的值，输出变量的值也就唯输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值也就唯 一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为变量为A1A1、A2A2，AnAn， 输出变量为输出变量为F F，则描述输出变则描述输出变 量和输入变量的逻辑函数可表示为量和输入变量的逻辑函数可表示为n nF=f(A1,A2,An)F=f(A1,A2,An)这与普通代数中函数的这与普通代数中函数的 概念相比，逻辑函数有它自身的特点：概念相比，逻辑函数有它自身的特点：逻辑函数自身的特点逻辑函数自身的特点 n n(1)(1)逻辑变量和逻辑函数的取值只有逻辑变量和逻辑函数的取

8、值只有0 0和和1 1两种可两种可 能。能。n n(2)(2)逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由“或或” 、“与与”、“非非”三种基本逻辑运算决定的。三种基本逻辑运算决定的。n n逻辑代数的函数和普通代数的函数一样，存在逻辑代数的函数和普通代数的函数一样，存在 相等的问题。设有两个逻辑函数：相等的问题。设有两个逻辑函数：n nF1=f1(A1,A2F1=f1(A1,A2，An)An)n nF2=f2(A1,A2, , An) F2=f2(A1,A2, , An)n n若对应于逻辑变量若对应于逻辑变量A1, A2,AnA1, A2,An的任何一组取值，的任何一组取值

9、， F1F1 和和F2F2的值都相同，则称函数的值都相同，则称函数F1F1和和F2F2相等。记作相等。记作F1=F2F1=F2。2.2 2.2 逻辑逻辑逻辑逻辑 代数的基本公式、定理及重要代数的基本公式、定理及重要规则规则规则规则n n2.2.1 2.2.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式n nP27P27表表2.2.12.2.1给给给给出了出了逻辑逻辑逻辑逻辑 代数的基本公式。代数的基本公式。这这这这些公式也叫布些公式也叫布尔尔 恒等式。恒等式。n n式式(1)(1)、(2)(2)、(11)(11)和和(12)(12)是变量与常量间的运算规则；式是变量与常量间的运算规则；式(3)(3)

10、 和和(13)(13)表示同一变量的运算规律，表示同一变量的运算规律，称为重叠律称为重叠律；式；式(4)(4)和和(14)(14) 表示变量与它的反变量之间的运算规律，表示变量与它的反变量之间的运算规律，称为互补律称为互补律；式；式(5)(5) 和和(15)(15)为交换律，式为交换律，式(6)(6)和和(16)(16)为结合律，式为结合律，式(7)(7)和和(17)(17)为分为分 配律；配律；式式(8)(8)和和(18)(18)是著名的德是著名的德摩根摩根( (DeMorgan)DeMorgan)定理定理，也，也 叫反演律。在逻辑函数的化简和变换中使用比较广泛；式叫反演律。在逻辑函数的化简

11、和变换中使用比较广泛；式(9)(9) 表明一个变量经过两次求反后还原其本身，所以该式又称还表明一个变量经过两次求反后还原其本身，所以该式又称还 原律；式原律；式(10) (10) 是对是对0 0和和1 1求反运算的规则，它说明求反运算的规则，它说明0 0和和1 1互为互为 求反的结果。求反的结果。2.2.2 2.2.2 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 n n1.1.定理定理1 1： A+AB=AA+AB=An n证证证证明明：A+AB=A(1+B)=A1=AA+AB=A(1+B)=A1=An n该定理说明在两个乘积项相加时，若其中一项以另一该定理说明在两个乘积项相加时，若其中一项以另一

12、项为因子，则该项是多余的，可以删除。项为因子，则该项是多余的，可以删除。n n2.2.定理定理2 2： A+AB=A+BA+AB=A+Bn n证证证证明：明：A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+BA+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+Bn n3.3.定理定理3 3： AB+AB = AAB+AB = A n n证证证证明：明：AB+AB =A(B+B )=A1=A AB+AB =A(B+B )=A1=A 基本定理证明基本定理证明 n n4.4.定理定理4 4 A(A+B)=AA(A+B)=A n 证明：证明：A(A+B)=AA+AB=A+ABA(A+B)=AA+AB=

13、A+ABn n=A(1+B)=A1=A =A(1+B)=A1=An n5.5.定理定理5 5 AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BC=AB+ACn n证明：证明：AB+AC+BC =AB+AC+BC(A+A AB+AC+BC =AB+AC+BC(A+A ) )=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC+ABC+ABCn n= =AB(1+C)+AC(1+B)AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC=AB+AC基本定理证明基本定理证明 n n6.6.定理定理6: 6: AAB = AB AAB = AB ； AAB = A AAB = A n n证证证证明：明：AAB = A(A+B) =

14、 AA+AB = AAB = A(A+B) = AA+AB = ABABn nAAB = A(A+B) = AA+AB AAB = A(A+B) = AA+ABn n=A(1+B) = A =A(1+B) = A 2.2.3 2.2.3 逻辑逻辑逻辑逻辑 代数的重要代数的重要规则规则规则规则n n逻辑代数有三条重要规则，即逻辑代数有三条重要规则，即代入规则代入规则、反演规则反演规则和和 对偶规则对偶规则。这些规则在逻辑运算中十分有用。这些规则在逻辑运算中十分有用。n n一、代入一、代入规则规则规则规则 n n任何一个含有变量任何一个含有变量A A的逻辑等式，如果将所有出现的逻辑等式，如果将所有出现A A的的 位置都代之以同一个逻辑函数位置都代之以同一个逻辑函数F F，则等式仍然成立。这则等式仍然成立。这 个规则称为个规则称为代入规则代入规则。代入规则的正确性是显然的，。代入规则的正确性是显然的， 因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有因为任何逻辑函数都和逻辑变量一样，只有0 0和和1 1两种两种 可能的取值。例如，已知可能的取值。例如，已知A+A=1A+A=1， 逻辑函数逻辑函数F=f(A1, F=f(A1, A2A2，