第二章 平面啮合的基本原理

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1、第二章 平面啮合的基本原理 第一节 瞬心线 一、相对运动速度及瞬心线方程（一）齿轮啮合副1、 相对运动速度两平行轴齿轮，分别绕O1、O2 点旋转，其转动角速度分别为：，模为1、 2。设两齿轮 相对起始位置的转角分别为：1、2 则：瞬时传动比：讨论：1）若 i12 C， 则： i12 = f（ 1 ）；、2）若 i12 = C， 则：O2O1M（M1、M2）12x2y2x1y1P12设平面上一任意点M，齿轮1为M1；齿轮2为M2， M1与M2为瞬时重合点， M1、M2在齿轮1、2中的位置分别用矢量 表示。 则： M1点随齿轮1转动的线速度为：M2点随齿轮2转动的线速度为：M1相对M2的相对运动速

2、度为：如果由O2向O1引入矢量 ，其模为中心距a， 则：式中： 为相对角速度O2O1M（M1、M2）12x2y2x1y1P12O2O1M（M1、M2）12x2y2x1y1P12讨论：1）如果M点不同， 也不同；2）如果M点处， 即 ， 则M点必在O1 O2连线上，设此点为P，则 P点为速度瞬心。 设O1P = r1 ， O2P = r2，则 1r1= 2r23）由此知：2、 瞬心线方程 瞬心线：P点在平面及上的轨迹称为齿轮1及齿轮2的瞬心线。两齿轮的运动可看作两瞬心线相切作纯滚动O2O112Pr1r21）当i12变化时，P点的位置在O1 O2连线上变动瞬心线方程： 齿轮1：（极坐标方程）齿轮2

3、：（极坐标参数方程）122）当i12是常数时，P点在O1 O2连线上为定点齿轮1：齿轮2：由于r1、r2为常数，所以两瞬心线为圆节圆；P点为定点节点（二）齿轮齿条啮合副1、 相对运动速度设齿条1平移速度 ，模为v1；齿轮2 绕O2点旋转，其转动角速度为： ，模为 2。齿条1相对起始位置的位移x；齿轮2 相对起始位置的转角2，则：瞬时传动比：讨论：1）若 i12 C， 则： i12 =r2= （ 2 ）；2）若 i12 = C， 则：O1M （M1、M2）xP1yv12 r2（x，y）O2M （M1、M2）xP2yv12 r2（x，y）设平面上一任意点M（M1， M2 ），M1相对M2的相对运动

4、速度为：如果M点处， 即 ，则M点必在过O2点并与 垂直的直线上， 设此点为P，则：P点为速度瞬心。O2P = r2，则 v1 = 2r2同样：O2M （M1、M2）xP2yv12 r2（x，y）2、 瞬心线方程 1）当i12变化时，P点的位置变动瞬心线方程： 齿轮2：（极坐标方程）齿条1：（直角坐标方程）2）当i12是常数时，P点在O1 O2连线上为定点 齿轮2：齿条1： （三）瞬心线的计算已知条件：a（结构尺寸）、 i12 = f（ 1 ）（运动要求）、齿轮1的转角范围1min 1max等。求：瞬心线方程步骤：1）由已知条件，按 求得齿轮1瞬心线；2）再按 求得齿轮1瞬心线二、齿轮瞬心线的

5、封闭条件作往复摆动的齿轮，瞬心线不封闭；当要求齿轮作连续转动时，瞬心线必须封闭1、齿轮1瞬心线的封闭条件齿轮1的瞬心线方程 ：由上式知：中心距a不变时，当i12作周期变化时，当r1也作周期变化要使齿轮1的瞬心线封闭，则：齿轮1的瞬心线封闭：在1=0 2 的范围内， i12的变化周期数为整数（n1）。i12变化一个周期，齿轮1转过的角度为2、齿轮2瞬心线的封闭条件齿轮2的瞬心线方程 ：同样，要使齿轮2的瞬心线封闭，则：即： 在2=0 2 的范围内， i12的变化周期数为整数（n2）。i12变化一个周期，齿轮2转过的角度为同时，由： 得：即：结论：当给定的i12既齿轮1瞬心线的封闭条件又满足上式，

6、则齿轮2的瞬心线也是封闭的。3、由给定的齿轮1封闭瞬心线r1 = r1（1），求齿轮2封闭瞬心线步骤：1）由r1 = r1（1），确定n1；2）根据传动要求，确定齿轮2的周期数n2；3）由 ，求出中心距a；4）由 ，求齿轮2封闭瞬心线方程第二节 齿形啮合基本定律O2O112PM设在某瞬时，两齿轮的瞬心线 、 在瞬心P 处相切，两齿廓1、2在M点接触（相切） 共轭齿形。12两齿廓1、2在接触点M处的相对运动速度 两齿廓1、2在接触点M处的公法线要使两齿廓1、2连续地相切传动，既不干涉 ，又不分离，则：即：又知： 共轭齿形在M点的公法线齿形啮合基本定律：共轭齿形在传动的任一瞬时，其在接触点处的公法

7、线 必定通过该瞬时的瞬心P1）当i12变化时，P点的位置在O1 O2连线上变动 2）当i12是常数时，P点在O1 O2连线上为定点第三节 共轭齿形的求法一、共轭齿形的求法1）包络法2）齿形法线法二、用齿形法线法求共轭齿形O2O1M1x1y1Pr2r1P1 m1x1y1bacd（一）两齿轮啮合已知：齿轮1的齿形方程为y1 = f（x1） 求：啮合线的方程和齿轮2的齿形方程图示为齿轮1的起始位置，齿形1与齿形2在M点接触，由齿形啮合基本定律知：为共轭齿形在M点的公法线。O2O1M1x1y1Pr2r1P1 m1x1y1bacd设m1（x1，y1）为齿形1上任一点， 要使m1（x1，y1）点成为啮合点

8、，则 齿轮1必须转过1角度。由齿形啮合基本定律可以确定1 与m1（x1，y1）点的关系其中：即：m1（x1，y1）点成为啮合点应符合下列关系1、啮合线方程把啮合点m1（x1，y1）的座标变换到固定座标系（P-x，y）中， 得啮合线方程为2、齿轮2的齿形方程把啮合点m1（x1，y1）的座标变换到动座标系（O2-x2，y2）中， 得齿轮2的齿形方程注：如已知齿轮2的齿形方程，求啮合线的方程和齿轮1的齿形方程 ，方法同上。O1 ，Px1y1O2r2xyy2x2x1 ly1m1P1（二）齿轮齿条啮合设m1（x1，y1）为齿条1齿形上任一点， 要使m1（x1，y1）点成为啮合点，则 齿条1必须移动 l

9、距离。由齿形啮合基本定律可以确定l 与m1（x1，y1）点的关系1、已知：齿条1的齿形方程为y1 = f（x1）求：啮合线的方程和齿轮2的齿形方程即：m1（x1，y1）点成为啮合点应符合下列关系y1 = f（x1）1)啮合线方程把啮合点m1（x1，y1）的座标变换到固定座标系（P-x，y）中 ，得啮合线方程为y1 = f（x1）2)齿轮2的齿形方程把啮合点m1（x1，y1）的座标变换到动座标系（O2-x2，y2）中， 得齿轮2的齿形方程y1 = f（x1）2、如已知齿轮2的齿形方程，求啮合线的方程和齿轮1的齿形方程，方法同两齿轮啮合。第四节 根据已知的啮合线求共轭齿形O,PXYxy,YOA(X

10、0,Y0)B(X,Y)b(x,y)l一、齿条齿形计算已知：啮合线在座标系（P-x，y） 中的方程为y= f（x）求：齿条在座标系（O-X，Y）中 的齿形方程为齿条齿形的起始位置，设其方 程为Y = f（X）设b(x,y)点啮合线上任一点，要使b(x,y)点成为啮合点，则齿条必须 移动 l 距离由 位置到达 位置，即齿条上的B(X,Y)与啮合线上b(x,y) 重合。由齿形啮合基本定律可以确定l与b(x,y)点的关系O,PXYxy,YOA(X0,Y0)B(X,Y)b(x,y)l由齿形啮合基本定律知：Pb为齿条齿形在B(X,Y)点的法线，其斜率为 。又由啮合线知Pb的斜率为又知：Y = y齿条在座标

11、系（O-X，Y）中的齿形方程为：O2O1Pr2r1二、齿轮齿形计算已知：啮合线在座标系（P-x，y ）中的方程为y= f（x）求：两齿轮的齿形方程设齿条与齿轮1的齿形及齿轮2的 齿形均为共轭齿形，则齿轮1的齿形 与齿轮2的齿形也为共轭齿形21lAb(x,y)B2(x2,y2)B1(x1,y1)B(X,Y)y,y1,y2,Yx1x,Xx2设齿轮1与齿条啮合。b(x,y)点啮合线 上任一点，要使b(x,y)点成为啮合点，则 齿条必须移动 l 距离，而齿轮1必须转过 1角，使齿条上的B(X,Y)和齿轮1上的B1(x1,y1) 与啮合线上b(x,y)重合。则：由齿形啮合基本定律可以确定1与b(x,y)

12、点的 关系1、求齿轮1的齿形方程O2O1Pr2r121lAb(x,y)B2(x2,y2)B1(x1,y1)B(X,Y)y,y1,y2,Yx1x,Xx2把啮合点b（x，y）的座标变换到动座标 系（O1-x1，y1）中，得齿轮1的齿形方程：O2O1Pr2r121lAb(x,y)B2(x2,y2)B1(x1,y1)B(X,Y)y,y1,y2,Yx1x,Xx2设齿轮2与齿条啮合。b(x,y)点啮合线 上任一点，要使b(x,y)点成为啮合点，则 齿条必须移动 l 距离，而齿轮2必须转过 2角，使齿条上的B(X,Y)和齿轮2上的B2(x2,y2) 与啮合线上b(x,y)重合。则：由齿形啮合基本 定律可以确

13、定2与b(x,y)点的关系2、求齿轮2的齿形方程把啮合点b（x，y）的座标变换到动座标 系（O1-x1，y1）中，得齿轮2的齿形方程：O2O1Pr2r1第五节 平面啮合共轭齿形的曲率及其关系 一、共轭齿形的曲率已知：以极座标表示的啮合线方程为：r = r（） 则对于啮合线上任意点M（x，y） ，有：x = rcos y = rsin 这时齿轮1的齿形方程变为：M(x, y) r 齿轮1上任意一点的M1(x1, y1)的曲率为O2O1Pr2r1M(x, y) r 将x1及y1对的一阶导数x1 、 y1 与 二阶导数x1 、 y1 代入上式并整理得：H 式中：同理可得齿轮2上任意一点的M2(x2,

14、 y2)的曲率为 O2O1Pr2r1M(x, y)rH 二、共轭齿形的曲率关系共轭齿形任意一点的M处的公切线矢量 的方向是指向曲线上参数公法线加大的方向。 由 逆时针转过90角，得到M处的公法线 的正方向。如果M点的曲率中心位于 的正方向上 则曲率k为正，反之曲率k为负。由图知： k1为正； k2为负。则共轭齿形 在M点的曲率半径分别为：)(sin)(sin112222222 2 2LrrLrrLrrLr rk-=+-+-=-= 即：由上面二式消去L，得： 欧拉-萨瓦理公式注意：1）当M(x, y)点在P点左下方时：O2O1Pr2r1M(x, y)rH M(x, y) 2）当齿轮2齿形内凹（内啮合）时：3）当齿轮1与齿条2啮合时：O2O1Pr2r1M,M1,M2 H第六节 平面啮合的滑动系数 一、齿轮啮合中的相对运动设某一瞬时，共轭齿形在M点啮合， 即齿轮1上的M1点、齿轮2上的M2点及 啮合线上的M点瞬时重合。 1、对于齿轮1上的M1点，有：即：而： 12O2O1Pr2r1M,M1,M2 H 2、对于齿轮2上的M2点，有：即：而：12O2O1Pr2r1M,M1,M2 H 12二、绝对速度和相对速度的计算1、绝对速度计算设PM与 及 的夹角分别 为及 。则有：90-在O1PM中O2O1Pr2r1M,M1,M2 H 1290-2、相对速度计算