计量经济学（第四版）5.3 协整与误差修正模型

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1、5.3 协整与误差修正模型 一、长期均衡关系与协整 二、协整的检验 三、关于均衡与协整的再讨论 四、误差修正模型 一、长期均衡与协整分析 Equilibrium and Cointegration1、问题的提出 经典回归模型（classical regression model）是建立在 平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典 回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方 法建立回归模型的。 例如，

2、中国居民实际消费水平与实际收入水平变量, 从经 济理论上说，居民收入决定着居民消费水平，它们之间有 着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。 经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关 系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在 机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点， 则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状 态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述2、长期均衡该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随 之确定为0+1X。 在t-1期末，存在下述三种情形之一： Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt-1 ； Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt

3、-1 ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X 与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关 系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为: 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的 值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第 一种情形下Y的变化大一些； 反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期 末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y 间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其 均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平 稳序列。如果t有随机性趋势（上升或下降） ，则会导致Y对其均衡点

4、的任何偏离都会被长 期累积下来而不能被消除。 Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡 误差（disequilibrium error），它是变量X与 Y的一个线性组合： 如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非 均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值 ，即是具有0均值的I(0)序列。 非平稳的时间序列，它们的线性组合也可能成为 平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。3、协整 如果序列X1t,X2t,Xkt都是d阶单整，存在向量 =(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)，其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，则认为序列 X1t,X2t,Xkt

5、是(d,b)阶协整，记为XtCI(d,b) ，为协整向量（cointegrated vector）。 如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数 不相同，就不可能协整。 3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有 可能经过线性组合构成低阶单整变量。 （d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系， 它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有 各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d ）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定 的比例关系。 例如，中国居民收入X和消费Y，它们各自都是2阶单整 ，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个 长期稳定的比例

6、关系，从计量经济学模型的意义上讲 ，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。 尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典 的回归分析方法建立回归模型。二、协整检验EG检验1、两变量的Engle-Granger检验 为了检验两个变量YtI(1)、XtI(1)是否为协整，Engle和 Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到： 称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。 第二步，检验非均衡误差的单整性。如果非均衡误差为 平稳序列I(0)，则认为变量Yt、Xt为(1

7、,1)阶协整；否则， 认为变量Yt、Xt不存在协整关系。 非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验 或者ADF检验。需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归 计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比 实际情形大。于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的 DF与ADF临界值还要小。 MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的 临界值。 例题：对经过价格指数调整后的19802013年间 中国居民总量消费Y与总量可支配收入X的数据， 检验它们取对数的序列lnY与lnX间的协整

8、关系。 对于lnY与lnX，经检验，它们均是I(1)序列， 最终的检验模型如下： 在5%的显著性 水平下，ADF 检验的临界值 为3.555 对lnY与lnX进行如下协整回归： 对计算得到的残差序列进行ADF检验，最终检 验模型为： 5%的显著性水平下协 整的ADF检验临界值 为3.521 结论：中国居民总量消费的对数序 列lnY与总可支配收入的对数序列 lnX之间存在（1,1）阶协整。 注意：查什么临 界值表？注意： 这里采用由协整检 验临界值表算得的 临界值（3.521 ），没有采用ADF 检验给出的临界值 （1.953），是 正确的。但是，在 很多应用研究中忽 视了这一点，而直 接采用A

9、DF检验给 出的临界值，则是 错误的，容易产生 误判。 2、多变量协整关系的检验扩展的E-G检验多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期 均衡关系：非均衡误差项t应是I(0)序列： 然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性 组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1, -0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量， （1,-0-

10、0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。 一定是I(0)序列。 检验程序： 对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相 同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否 存在稳定的线性组合。 在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一 个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行 OLS估计并检验残差序列是否平稳。 如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的 OLS估计及相应的残差项检验。 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不 能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存 在（d,d）阶协整。 检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常 的DF与ADF检验临界值小，而且该

11、临界值还受到所检验 的变量个数的影响。MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检 验的临界值。3、高阶单整变量的Engle-Granger检验 E-G检验是针对2个及多个I(1)变量之间的协整关 系检验而提出的。 在实际宏观经济研究中，经常需要检验2个或多个 高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用E- G两步法，但是残差单位根检验的分布同样已经 发生改变。 三、关于均衡与协整关系的讨论 协整方程等价于均衡方程？协整方程不等价于均衡方程 协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济 意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系， 在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上 存在协整关系

12、的时间序列之间，在经济上并不 一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必 要条件，而不是充分条件。 均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序 列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时 间序列。 协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程 的随机扰动项必须是白噪声。 不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。五、误差修正模型 Error Correction Model, ECM1、一般差分模型的问题 对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其 化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析 模型。模型只表达了X与Y间的短期关系，而 没有揭示它们间的长期关系。关于变量 水平值的重要信息将被忽略。误差项t不存在

13、序列相关， t是 一个一阶移动平均时间序列，因 而是序列相关的。2、误差修正模型 是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的 主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY模型。由于现实经济中很 少处在均衡点上， 假设具有（1, 1）阶 分布滞后形式 Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡 程度。 一阶误差修正模型(first-order error correction model)的形式：若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X，ecm为正，则 (-ecm)为负，使得Yt减少；若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解0+1X ，ecm为负，

14、则(-ecm)为正，使得Yt增大。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。 复杂的ECM形式，例如：3、误差修正模型的建立 Granger 表述定理（Granger representaion theorem ）Engle 与 Granger 1987年提出如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关 系总能由一个误差修正模型表述。模型中没有明确指出Y与X的滞后项数，可以是多阶滞后 ；由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中允许采用X的非 滞后差分项Xt 。 建立误差修正模型，需要： 首先对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关 系假设。 然后对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整 关系，即

15、即检验长期均衡关系假设，并以这种关系 构成误差修正项。 最后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变 量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立 短期模型，即误差修正模型。 Engle-Granger两步法 第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的 协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）； 第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作 为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS 法估计相应参数。 需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有 必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差 项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差 项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关 ，则应加入变量差分的滞后项。 例题：建立中国居民总量消费Y的误差修正模 型。 经检验，中国居民总量消费（Y）与可支配总收入 （X）的对数序列间呈协整关系。 以lnY关于lnX的协整回归中稳定残差序列作为误差 修正项，可建立如下误差修正模型 ： 滞后阶数由LM 检验确定 注意：在实际应用研究中，如果误差修正模型中 误差修正项的参数估计值为正，模型肯定是错误 的。