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1、4.2 异方差性Heteroscedasticity一、异方差的类型 二、实际经济问题中的异方差性 三、异方差性的后果 四、异方差性的检验 五、异方差的修正 六、案例 一、异方差的概念即对于不同的样本点,随机误差项的方差不再 是常数,而互不相同,则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。1、异方差Homoscedasticity2、异方差的类型 同方差:i2 = 常数,与解释变量观测值Xi无关 ;异方差:i2 = f(Xi),与解释变量观测值Xi有关 。 异方差一般可归结为三种类型: 单调递增型: i2随X的增大而增大 单调递减型: i2随X的增大而减小 复 杂 型: i
2、2与X的变化呈复杂形式二、实际经济问题中的异方差性例4.2.1:截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭:储蓄的差异较大; 低收入家庭:储蓄则更有规律性,差异较小。i的方差呈现单调递增型变化。例4.2.2: 以绝对收入假设为理论假设、以截面数样 本建立居民消费函数:Ci=0+1Yi+i 将居民按照收入等距离分成n组,取组平均数为样本 观测值。 一般情况下,居民收入服从正态分布:中等收入组人 数多,两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误 差小,人数少的组平均数的误差大。 样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不
3、同而 不同,往往引起随机项的异方差性,且呈U形。例4.2.3: 以某一行业的企业为样本建立企业生产函 数模型Yi=Ai1 Ki2 Li3 ei 被解释变量:产出量Y,解释变量:资本K、劳动L 、技术A。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随 机误差项中。 对于不同的企业,它们对产出量的影响程度不同,造 成了随机误差项的异方差性。 随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变 化而呈规律性变化,呈现复杂型。三、异方差性的后果Consequences of Using OLS in the Presence of Heteroskedasticity1、参数估计量非有效 OLS估计量仍
4、然具有无偏性,但不具有有效性。 因为在有效性证明中利用了E()=2I 而且,在大样本情况下,尽管参数估计量具有 一致性,但仍然不具有渐近有效性。2、变量的显著性检验失去意义 变量的显著性检验中,构造了t统计量 其他检验也是如此。3、模型的预测失效一方面,由于上述后果,使得模型不具 有良好的统计性质;所以,当模型出现异方差性时,参数OLS 估计值的变异程度增大,从而造成对Y的预测 误差变大,降低预测精度,预测功能失效。四、异方差性的检验 Detection of Heteroscedasticity1、检验思路 检验方法很多 Graphical Method Formal Metrods Par
5、k Test Glejser Test Spearmans Rank Correlation Test Goldfeld-Quandt Test Breusch-Pagan-Godfrey Test Whites General Heteroscedasticity Test Koenker-Bassett Test 共同的思路: 由于异方差性是相对于不同的解释变量观测值,随 机误差项具有不同的方差。那么检验异方差性,也 就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间 的相关性及其相关的“形式”。 问题在于用什么来表示随机误差项的方差?一 般的处理方法:首先采用OLS估计,得到残差 估计值,用它
6、的平方近似随机误差项的方差。2、图示法(1)用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势(即不在一个固定的带型域中)。看是否形成一斜率为零的直线。3、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验 基本思想:偿试建立方程:选择关于变量X的不同的函数形式,对方程进行估计并 进行显著性检验,如果存在某一种函数形式,使得方程 显著成立,则说明原模型存在异方差性。若在统计上是显著的,表明存在异方差性。 帕克检验常用的函数形式:GleiserPark4、布罗施-帕甘(Breusch-Pagan)检验 检验是否存在 异方差,即检 验随机项的方 差是否与模型 解释变量相关 。用O
7、LS估计的 ei2近似方差, 构造辅助回归 。用辅助回归的可 决系数构造F或 者LM统计量。 5、怀特(White)检验以二元模型为例在同方差假设下辅助回归 可决系数渐近服从辅助回归解释变量 的个数建立辅助 回归模型 说明: 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性 ,因此,辅助回归方程中还可引入解释变量的更高 次方。 如果存在异方差性,则表明确与解释变量的某种组 合有显著的相关性,这时往往显示出有较高的可决 系数以及某一参数的t检验值较大。 在多元回归中,由于辅助回归方程中可能有太多解 释变量,从而使自由度减少,有时可去掉交叉项。五、异方差的修正 Correcting Heterosce
8、dasticity1、加权最小二乘法(Weighted Least Squares, WLS) 思路:加权最小二乘法是对原模型加权,使之变 成一个新的不存在异方差性的模型,然后采用OLS 估计其参数。在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数;对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。 例如,对一多元模型加权后的模型满足同方差性,可用OLS法估计。 一般情况下:Y=X+W是一对称正定矩 阵,存在一可逆矩 阵D使得W=DD这就是原模型Y=X+的加权最小二乘估计量, 是无偏、有效的估计量。 这里权矩阵为D-1,它来自于原模型残差项的 方差-协方差矩阵2W 。 普通最小二乘法是加权最小二乘
9、法中权恒取1时的 一种特殊情况。 加权最小二乘法是广义最小二乘法(generalized least squares, GLS)中权矩阵为对角阵的特殊 情况。 如何得到2W ? 寻找模型中随机扰动项的方差与解释变量间的适当的 函数形式。 一种具有应用价值的方法 假设的方 差具有指数 函数的形式 用OLS估计 的e代替OLS估计3、异方差稳健标准误法(Heteroscedasticity- Consistent Variances and Standard Errors) 应用软件中推荐的一种选择。适合样本容量足 够大的情况。 仍然采用OLS,但对OLS估计量的标准差进行 修正。 与不附加选择的
10、OLS估计比较,参数估计量没 有变化,但是参数估计量的方差和标准差变化 明显。 即使存在异方差、仍然采用OLS估计时,变量 的显著性检验有效,预测有效。六、例题-农村居民人均消费函数 模型 中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定 。农村人均纯收入除包括从事农业经营的收入外,还 包括从事其他产业的经营性收入以及工资性收入、财 产收入和转移支付收入等。 为了考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入(X2 )对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响,建立如 下双对数模型: 关于异方差的分析 截面数据样本,一般存在异方差。 从经济现象分析,随机项的方差可能与其它收入(X2 )有关。 采用OLS估计模型,作出残差平方项ei2与lnX2的散点 图,判断可能存在着递增型异方差。 布罗施-帕甘(G-P)检验结论:5%显著性水平下拒绝原模型随机干扰项方差相同 的假设。 怀特检验 结论:拒绝同方差的原假设。 加权最小二乘估计 经试算发现 WLS估计经检验,加权的回归模型已不存在异方差性。 稳健标准误法 参数估计与普通最小二乘法相同; 由于参数的标准差得到了修正,从而使得t 检验值与普 通最小二乘法的结果不同。 稳健标准 误估计OLS估计