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1、答辩人： 导师姓名：所学专业：数学与应用 数学浅析Riemann积分与 Lebesgue积分的联系和比较绪论 R积分与L积分的联系和比较 一些相关定理的推广及应用 小结论文答辩主要内容1绪论R积分与L积分是微积分理论的重要组成部分 ，它在数学分析和实变函数以及其他科学领域中 都占有重要的位置。同时，它又贯穿了分析数学 的许多重要方面。 本文从微积分的发展过程出发引出了我们已 知的R积分，尽管R积分的理论比较完善，但在考 虑某些问题时，我们看到了R积分的局限性。于 是就有了改造R积分的必要性,从而提出了L积分 。 2 R积分与L积分的联系和比较 2.1定义的比较R积分的定义如下：设 是定义在 上
2、的一个函数， 是一个确定 的实数。若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得 对的任何分割 ，以及在其上任意选取的点集 ， 只要 ，就有 则称 在 上可积或R可积；数 称为在上的定积分或R积分，记为 L积分的定义如下:设 是一个Lebesgue可测集, , 是 定 义在 上的Lebesgue可测函数,又设 是有界的，就是说存在 及 使得 ,在 中任取一 分点组 ，记并任取 （我们约定，当 时， ） 作和 如果对任意的分法与 的任意取法，当 时， 趋于有限的极限，则称它为 在 上 关于L测度的积分，记作它们的主要区别是：R积分是将给定函数的 定义域分小而产生的，而L积分是划分函数的值 域而产生的
3、。前者的优点是 的度 量容易给出，但当分法的细度 充分小时，函 数 在 上的振幅 仍可能较大；后者的优点是函数 在 上 的振幅较小，但 一般不再是区间，而是可测集。其 度量 的值一般不易给出。对定义域与对值 域的分割是R积分与L积分的本质区别，对值域进 行分割求积分的方法使 中的点分成几大类，更 简单明了。 2.2存在条件的比较Riemann可积函数类可由以下三个定理 给出：定理1 若 为 上的连续函数，则 在 上可积。定理2 若 是 上只有有限个间断点的有界 函数，则 在 上可积。 定理3 若 是 上的单调函数，则 在 上可积。 Lebesgue可积函数类的要求: 设 是可测集 上的连续函数
4、 ，则 在 上L可积的充要条件是 在 上L 可测且几乎处处有限。同时L积分给出了R可积的一个比较好的充 要条件： 函数 在 上R可积的充要条件是 在 上一切间断点构成一个零测度集。这说明R可积函数是几乎处处连续的。例如 Riemann函数 2.3主要性质的比较R积分的主要性质：(1)(线性性质)若函数 ， 在 上可积,则 在 上可积,且 (2)(区域的可加性)若函数 在 上可积, 那 么它在任一子集上也可积,且(3)(单调性) 与 在 上可积,且满足 则 (4)(绝对值不等式性)若 是 上的可积函数, 则 (5)(绝对可积性)若 在 上可积,则 在 上也可积. L积分的主要性质: (1)(线性
5、性质)若函数 ， 在可测集上可积,则在其上可积，且(2)(可加性)设 互不相交 ， 在 上有积分时, 在每个 上有积分, 且(3)(单调性) 与 在 上可积,且满足 则(4)(绝对值不等式性)若 是 上的可积函数, 则是 上的可积函数，且(5)(绝对可积性)若 在 上可积 在 上 可积. (6)(积分的绝对连续性)设 为可测集， ，则对于任意的 .存在 .使得对于任意 的可测集 ,只要 ,就有(7)(列维定理)设 为可测集， 为 上 的一 列非负可测函数，当 时 对于任一自然数 ，若有 ，令 ，则(8)(法图引理)设 为可测集， 为 上的 一列非负可测函数，则 2.4积分极限换序方面的比较Le
6、besgue控制收敛定理： 设（1） 是可测集 上的可测函数列； （2） 几乎处处于 且 在 上可积 ；（3） 几乎处处于 ； 则 在 上可积，且设 ，将条件（2）改为 ， 则定理结论仍成立，这也叫做L积分的有界收敛 定理。例 求 3一些相关定理的推广及应用定理6 设 是 上的绝对连续函数，则几乎处 处有定义的 在 上勒贝格可积，且即 总是 上可积函数的不定积分。定理5 设 在 上可积，则存在绝对连续函数 ，使得 于 。定理4 设 在 上可积，则其不定积分是绝对 连续函数。3.1积分与微分互逆关系的推广 3.2重积分化累次积分的推广及应用 定理9 若 在如 的 型 区域 上连续,其中 在 上连续， 则 定理10（1）设 在 上非负可测，则 对 的 ， 作为 的函数在 上可测 ，且 （2）设 在 上可积，则对 的 ，作为 的函数在 上可积，又 作为 的函数在 上可积且（1）式成立。4小结从狭义上来说，L积分可以看作是R积分的改 进和推广。我们又可以看到，L积分并没有完全 否定和抛弃积分，它的建立是以R积分为基础的 。这启发我们在做研究时应从不同角度来考 虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概 念和理论。致谢在论文的完成过程中，我 得到了赵晨萍老师的精心指导和 悉心帮助，在此谨向赵老师致以 最崇高的敬意和最衷心的感谢！
