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1、2012数学建模培训培训内容1. 插值与拟合； 2. 灰色系统； 3. 层次分析法；(重要) 4. 模糊数学方法；(重要) 5. 时间序列与马氏链； 6. 多元分析与Spss；(重要) 7. 数学规划与Lingo；(重要) 8. 图论模型及其Matlab程序；9. 建模论文写作； 10. 建模案例讲评。培训内容基本上覆盖了数学建模中大部分常用的数学方法。我们相信，通过刻 苦钻研，努力学习，掌握了上述方法后， 必将大大提高建立数学模型和运用计算机 解决实际问题的综合能力，也一定会在全 国建模大赛中取得较好成绩。培训方式由于培训内容众多且有相当难度，而培训时间又较短，所以如果学生不事先认 真预习相
2、关内容，那么在课堂上不可能完 全听懂老师所讲内容，大部分学生会云山 雾罩，一头雾水，从而使得培训效果大打 折扣。综上，强烈建议学生课前认真、反复 研读授课 PPT和其它相关资料，然后带着疑问和兴趣再听老师讲解，这样才能保证 培训效果。培训以讲解为主，适当穿插提问、讨论。学生普遍疑惑的问题，也可当堂咨询 老师。上机软件与上机练习众所周知，在建模竞赛中，能否熟练使用相关数学软件是能否取得好成绩的关 键之一。因此，数学软件的培训应该是建 模培训的重要内容。建模中常用的数学软件有Matlab,Spss, Lingo,Maple等。由于培训时间有限，在课堂上只能简 单介绍Spss和Lingo，而Matl
3、ab 和Maple只能在上机过程中穿插介绍。几乎所有的数学方法最终都要用数学软件和程序实现，所以上机练习是与课堂 讲授同等重要的培训内容。上机训练的主要目的和内容是通过练习，掌握实现各类数学方法的数学软件和 程序。上机所用数学软件和程序主要由教师提供，学生只要会用即可。但需要提醒同学们注意的是，现成的软件和程序不可能 解决建模中的所有问题。通过上机训练， 掌握一些基本编程和计算技能(如用matlab 做数据处理、画图, 用maple做简单的解析 计算)，对于参加建模竞赛是绝对必要的。上机前，辅导老师会布置上机练习，提供相关软件或程序，讲解关键步骤和程 序语句。上机过程中，辅导老师负责解答 学生
4、的疑难问题。第一讲 插值与拟合插值与拟合属数值分析中函数逼近内容。在数学建模竞赛中，插值与拟合是一 种常用的数据分析手段，被公认为建模中 的十大算法之一。本节首先通过具体问题引出插值问题 与拟合问题，然后简要介绍Matlab中的插值和拟合的相关命令，最后给出两个应用 插值和拟合的建模实例。本节要求学生：(1) 理解插值问题和拟合问题；在实际中会正确地判断、选择插值或拟合方法。(2) 了解高次插值的Runge 现象及避免方法。(3) 熟悉Matlab中一维插值(interp1)、 二维插值(interp2) 、散乱点插值(griddata) 及相关命令(surf,mesh,meshgrid,co
5、ntour)。(4) 熟悉Matlab中多项式拟合(polyfit)、最小二乘曲线拟合(lsqcurvefit)命令。(5) 掌握Matlab编程的基本知识与技能,如数组及运算、调用，循环与控制语句， 绘图相关命令，函数(m文件)的定义和调用等。一、插值问题与拟合问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度 y 与该处 距地面的距离x有关，现用仪器测得从地面 到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(xi,yi) (i=0,1,10)，根据这些数据完成下列工作: (1) 寻找一个函数，要求由此函数可近似求 得从地面到井下500米之间任意点处的瓦斯 浓度；(2) 估计井下600米处的瓦斯浓度。第一个问题可归结为
6、“已知函数在x0,x1, ,xn处的值，求函数在区间x0,xn内其它点 处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。插值问题可描述为：已知函数在x0,x1, ,xn处的值y0,y1,yn，求函数p(x)，使p(xi) = yi。但对第二个问题不宜用插值方法,因为 600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。 解决第二个问题的常用方法是，根据 地面到井下 500 处的数据求出瓦斯浓度与 地面到井下距离x之间的近似函数关系f(x), 由f(x)求井下600米处的瓦斯浓度。插值函数过已知点，拟合函数不一定 过已知点。通常, 插值主要用于求函数值，而拟合的主要目的是求函数关系
7、。当然， 某些问题既可以用插值也可以用拟合。二、高次插值中的Runge现象通常选用多项式作为插值函数。在研究插值问题的初期，所有人都认为插值多 项式的次数越高，插值精度越高。Runge 通过对一个例子的研究发现，上述结论仅仅在插值多项式的次数不超过 七时成立；插值多项式的次数超过七时， 插值多项式会出现严重的振荡现象，称之 为Runge现象。例1 ，节点，求插值多项式 。用Maple (Matlab高次插值功能较弱) 可 方便地求出120次插值多项式，通过图形 观察插值效果，见Maple程序演示。 Runge现象避免 Runge 现象的常用方法是：将插值区间分成若干小区间，在小区间内用低 次
8、(二次，三次) 插值，即分段低次插值，如样条函数插值 。 样条插值结果三、Matlab插值Maple 和 Matlab 等数学软件可方便地进行一维和二维多项式插值和样条插值， 其中Matlab的二维插值功能较强。Maple中的插值和样条插值命令分别为 interp和spline。例如， interp(1,3,4,7,3,5,4,9,x);spline(1,3,4,7,3,5,4,9,x,cubic)。下面介绍Matlab中的插值命令。 1. 一维插值 一维插值的典型命令是interp1, 其基本 格式为yi= interp1(x,y,xi, method)。x, y为插值点，xi, yi为被插
9、值点和插值 结果，x,y和xi,yi通常为向量；method表示 插值方法：nearest最邻近插值, linear 线性插值, spline三次样条插值, cubic立方插值，缺省为线性插值。 例2 在一天24小时内，从零点开始每 间隔2小时测得的环境温度数据分别为12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13， 推测中午1点温度，并做出24小时温度曲线图。Matlab程序 x=0:2:24;y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13;x1=13;y1=interp1(x,y,x1,spline)xi=0:1/3600:24;yi
10、=interp1(x,y,xi, spline);plot(x,y, *,xi,yi) 运行结果：y1=27.87请理解、掌握程序中的每个语句，并 改变插值方法，观察图形变化。 例3 已知飞机下轮廓线上数据如下， 分别画出高次插值(Lagrange)、分段线性插值、样条插值的飞机下轮廓线。 机翼下 轮廓线 xyMatlab程序 function plane x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ; y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ; x=0:0.1:15; y1=lagrange(x0,y0,x); y2=interp1(x0
11、,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,spline); subplot(3,1,1)plot(x0,y0,k+,x,y1,r) gridtitle(lagrange) subplot(3,1,2) plot(x0,y0,k+,x,y2,r) grid title(piecewise linear) subplot(3,1,3) plot(x0,y0,k+,x,y3,r)grid title(spline) function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np
12、=1.0; for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s; end例3的程序较例2复杂，现说明如下：(1) 由于Matlab中没有Lagrange高次插 值功能(Maple有)，所以程序中单独编写了 高次插值函数lagrange，然后调用；(2) 程序中使用了子图形(subplot)、添 加网格 (grid)和标题 (title)、循环和条件语句等。请各位通过上机理解、掌握上述命令, 特别是函数的定义及调用。 2. 二维插值 二维插值的典型命令是interp2, 其基本 格式为zi= interp2(x
13、,y,z,xi,yi, method)。二维插值命令的理解和使用较复杂。x,y,z为插值点，z可以理解为被插值函 数在(x,y)处的值；xi,yi为被插值点, zi为输 出的插值结果，可理解为插值函数在(xi,yi) 处的值；x,y为向量，xi, yi为向量或矩阵， 而z和zi则为矩阵。method表示插值方法：nearest最邻 近插值, linear双线性插值, spline双三 次样条插值, cubic双立方插值, 缺省为双线性插值。 例4 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 做出平板表面的温
14、度分布曲面z=f (x,y)的图形及等温线，并求出温度最高和最低点。 Matlab程序 x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; figure(1); mesh(x,y,temps) xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic) figure(2); mesh(xi,yi,zi) figure(3); contour(xi,yi,zi,20,r); i,j=find(zi=min(min(zi); x=xi(j),y=yi(i),zmin=zi(i,j) i,j=find(zi=max(max(zi); x=xi(j),y=yi(i),zmax=zi(i,j)上述程序较复杂，说明如下：(1) interp2中的xi为行向量, 而yi为列向 量，其实xi和yi行列不同即可。(2) mesh和con
