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1、第五章第五章 拉普拉斯方程与泊松方程拉普拉斯方程与泊松方程5.1 二维拉普拉斯方程5.2 三维拉普拉斯方程5.3 泊松方程与格林函数先求其本征解。设函数 u(x,t) 具有变量分离形式：，则上述方程可以写为：5.1 二维拉普拉斯方程5.1.1 矩形区域的拉普拉斯方程其分布如下页左图所示，右图则为偏微分方程工具箱 算出的结果。用偏微分方程工具箱求解Laplace方程的步骤1、在matlab命令窗中键入：pdetool2、在弹出界面中用第二行的左边5个按钮之一选定求解边界.3、用第二行的左边第6个按钮设定边界条件.4、用第二行的左边第7个按钮设定求解方程(如选椭圆形并设定系数）.5、用第二行的左边
2、第8、9个按钮剖分求解区域网格.6、用第二行的左边第11个按钮画图.5.1.2 圆形区域拉普拉斯方程，阳光照射的圆柱其中： 半径为a,表面熏黑的长圆柱体，在温度为零度的 空气中受到垂直于柱轴的阳光照射，热流的强度为q, 求柱内温度分布。因温度分布式稳定的，该问题的定界问题为：该问题的解析解为 ： %ex401(p91) clear;a=1; H=1.5; k=0.3; h=0.2; q=5; N=20;r=0:0.05:1; phi=0:pi/30:2*pi; TH,R=meshgrid(phi,r); %构造网格 X,Y=pol2cart(TH,R); u=q/H/pi+1/(k+H*a)*
3、q/2*R.*sin(TH); for n=1:N dd=2*q/pi/a(2*n-1)/(2*n*k+a*H)/(1-4*n2); zz=dd*R.(2*n).*cos(2*n*TH); u=u+zz; end; figure(1);surfc(X,Y,u); figure(2);contour3(X,Y,u,20);求上述温度分布的程序如下，相应的分度分布如下页 上面两图，用偏微分方程工具箱所得分布可作为对比5.1.3 云与大地之间的电缆带电的云与大地之间存在一个均匀的电场，平行与大 地的电缆相当于一根无穷长导体。在平行于电场的方 向作垂直于电缆的截面，研究该截面上的电势分布。该问题可以用
4、如下方程加以描述：选择偏微分方程工具箱求解，注意：求解区域是两区 域之差；区域内选择椭圆型方程。5.2 三维拉普拉斯方程5.2.1 静电场中的介质球的电场分布在场强为E的均匀静电场中放置半径为R0的均匀介 质球，球的介电常数(电容率)为，求介质球内外的电场强度分布。定界问题可以用下列方程加以描述：圆外1=2 ，圆内2=25.2.2 带有电荷的细圆环的电势分布半径为a 的均匀带电细圆环，电 荷线密度为40 /a,取无穷远处 电势为0,求空间任一点的电势.1.直接积分法由于轴对称性，可取x=0，可用trapz求先出电势，再用 gradient(梯度)求出电场，最后用streamline画出电力线%
5、ex403(p97) clear; a=1; b=0.11; y=-4:b:4; z=y; phi=pi*(0:1/100:2); Y,Z,PHI=meshgrid(y,z,phi); r=sqrt(0-a*cos(PHI).2+(Y-a*sin(PHI).2+Z.2); dV=1./r; V=trapz(dV,3); Ey,Ez=-gradient(V,0.5); figure(2);subplot(2,2,1); contour(Y(:,:,1),Z(:,:,1),V,10);subplot(2,2,3); Sy,Sz=meshgrid(-4:.2:4,-0.1,.1); box on;
6、streamline(Y(:,:,1),Z(:,:,1),Ey,Ez,Sy,Sz); x=0:b:3; th=pi*(0:1/20:2); X,Y,Z,TH=ndgrid(x,x,x,th); r=sqrt(X-a*cos(TH).2+(Y-a*sin(TH).2+Z.2); dV=1./r; V=trapz(dV,4); Ex,Ey,Ez=gradient(-V,0.5); X,Y,Z=meshgrid(x); Sx,Sy,Sz=meshgrid(0:.5:3,0:.5:3,0.1); subplot(2,2,2); streamslice(X,Y,Z,Ex,Ey,Ez,0.1); box
7、on; axis(0,3,0,3);xlabel(Z_0=0.1); x=cos(th);y=sin(th);z=zeros(1,length(th); subplot(2,2,4); plot3(x,y,z,linewidth,3,color,r);hold on; axis(-3,3,-3,3,- 3,3);h1=streamline(X,Y,Z,Ex,Ey,Ez,Sx,Sy,Sz); h2=copyobj(h1,gca); rotate(h2,1,0,0,180,0 0 0); h3=copyobj(allchild(gca),gca); rotate(h3,0,1,0,180,0 0
8、0);2. 解析解的可视化该定解问题的解析解-电势分布为：由于对称性， 解与角无关，该解析解可以分为圆 内、圆外两部分，两部分分别计算，再将两部分相 加。程序如下页；相应的等位线在后页。%ex402(p94) clear; a=0.5; q=1; x=-3*a:0.02:3*a; X,Y=meshgrid(x); theta,r=cart2pol(Y,X); rout=r; rout(find(routa)=NaN; Uin=q/a; Uout=q./rout; rin=rin/a; rout=a./rout; for k=1:20fun=legendre(2*k,cos(theta);rfu
9、n=q/a*squeeze(fun(1,:,:);ck=(-1)k*prod(1:2*k)/2(2*k)/(prod(1:k)2;ukin=ck*rin.(2*k); Uin=Uin+ukin.*rfun;ukout=ck*rout.(2*k+1); Uout=Uout+ukout.*rfun; end; figure(1);contour(X,Y,Uout,20,r);hold on; contour(X,Y,Uin,15,b);title(等势线); figure(2);surf(X,Y,Uout);hold on;surf(X,Y,Uin);3. 用偏微分方程工具箱求解5.2.3 均匀圆
10、盘的引力势均匀圆盘的半径为a，质量为M，求它在周围空间中的引力势。定解问题：其中：下面分别用两种方法求解：1. 解析法绘图， 2. PDE工具箱求解泊松方程1. 解析解的可视化问题的解析解为：考虑到对称性，解析解与无关，因此在二维平面上画出等势线 ，由于解为分段函数，因此分别算出并用不同颜色作图。%ex404; (p100) 圆盘引力势； clear; a=0.35; GM=1/4; ri=0:1/200:a; ro=a:1/200:1; th=(0:0.01:2)*pi; z=cos(th); ui=0; uo=0; for k=0:2:20fun=legendre(k,z); f=fun(
11、1,:); f0=f(1,51);Ri=2/a2*(1/(k-1)+1/(k+2).*ri-2/a/(k-1)*(ri/a).k;Ro=1/a/(k/2+1)*(a./ro).(k+1);R,PH=meshgrid(Ri,f); ui =ui-GM*f0*R.*PH; R,PH=meshgrid(Ro,f); uo=uo-GM*f0*R.*PH; end; ro,T=meshgrid(ro,th);Yo=ro.*cos(T);Xo=ro.*sin(T) ; ri,T=meshgrid(ri,th); Yi=ri.*cos(T); Xi=ri.*sin(T); figure(1);contour
12、(Xo,Yo,uo,b);hold on; axis equal; contour(Xi,Yi,ui,r); title(圆盘引力势等势线);2. 用PDE工具箱求解选一长为3，宽为2的矩形，内画一小矩形表示板， 长(直径)取为0.8, 厚度取为0.1，中心位于原点。外边界条件是Dirichlet型：h=1,r=0; 内边界条件自动衔接。方程选为椭圆型，在圆板内参数取为：c=1,a=0, f=1/0.352./sqrt(x.2+y.2); 圆板外参数取为： c=1,a=0, f=0。5.2.4 环形电流的磁感应强度半径为a，通有电流I的圆环，求其在空间任一点所产生的磁感应强度B.为了画出磁力线
13、，需用到画场线的专用命令(streamline)。1.解析解%ex406; (p104) % 环形电流的磁感应强度 clear;a=0.35; R=1; X,Y=meshgrid(0:0.1:R);t,r=cart2pol(Y,X); ri=r; ri(find(ria)=NaN; ro=r; ro(find(ro0), j=j+1;end; %粗估零点; q=fzero(yy,j); D=D,q; j=j+1;%精估一阶贝塞尔函数零点； end b=1.5; u0=1; h=0.5; rho,z=meshgrid(0:b/30:b,0:h/20:h); A=u0*b2/(2*h)*z; fo
14、r n=1:N; aa=4*u0*besselj(2,D(n)/(D(n)/b)2; bb=sinh(D(n)*z./b)/sinh(D(n)*h/b); cc=besselj(0,D(n).*rho/b)/(besselj(0,D(n)2; A=A-aa*bb.*cc; end; figure(1);contour(0:b/30:b,0:h/20:h,A,25); xlabel(radical rho); ylabel(high z); colorbar;5.2.6 柱体内温度场分布之二 (J的应用)半径为 0高度为L的圆柱体，其侧面和下底温度保持0度，上底温度分布为 。求圆柱体内稳定的温度
15、分布。定解问题为：其解析解为：其中 为零阶贝塞尔函数的第n个零点，J0和J1为0、2阶贝塞尔 函数取0 =0.2，L=0.5, 用下列程序画图，结果如后页所示。 %ex411; (p117) % 温度场分布之二； clear; D=; N=50; j=1; yy=inline(besselj(0,xx),xx); for k=1:N; while(besselj(0,j)*besselj(0,j+1)0), j=j+1;end;%零点粗估； q=fzero(yy,j); D=D,q; j=j+1; %精估零阶贝塞尔函数零点； end r0=0.2; L=0.8; A=0; r,z=meshgrid(-r0:0.01:r0,0:0.01:L); for n=1:N; aa=2*r02/D(n)/besselj(1,D(n)*(1-4/(D(n)2); bb=sinh(D(n)*z/r0)./sinh(D(n)*L/r0); cc=besselj(0,D(n)*r/r0); A=A+aa*bb.*cc; end; HH=10-5:3*10-4:10-3,.0015,.002:.001:.04; figure(1);co
