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1、l 问题：比较不同种的种子、不同种类、不同数量的肥料对 农作物收获量的影响。通过收获量的数据，如何来判定影响？ l 两个总体的数学期望是否相等的显著性检验，可以称之为单因素二水平的试验，并建立了t检验法。l 单因素多水平的试验，即讨论多个总体的数学期望是否相等的显著性检验，将建立F检验法。l F检验法是由因素的方差与误差项方差之比来完成的，所以把这种F检验法又称作方差分析法。l 方差分析法是分析试验结果数据的一种数理统计方法。3 单因素试验的方差分析（一）基本思想例 比较四种不同的肥料对农作物收获量的影响。问：肥料对农作物的收获量有无显著的影响？A1A2A3A4 A2A3A4A1 A3A4A1
2、A2 A4A1A2A3肥料种类类（Ai ）收获获量平均收获量A19896916687.75 A26069503553.5 A37964817073.5 A49070798881.75名词：试验指标：试验要考察的指标（如产量、射程等）。因素：影响试验指标的条件。分为两类，一类是可以控制的；一类是不能控制的。单因素试验：在试验中只有一个因素在起作用称为单因素试验，多于一个因素称为多因素试验。水平：因素的不同状态，称为该因素的水平。 表9.1 铝合金板的厚度机器I机器II机器III0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.264
3、0.2590.2670.262例1 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板，取样，测量薄板的厚度（精确至千分之一厘米），得结果如表9.1所示。试验的指标：薄板的厚度因素：机器水平：不同的三台机器单因素试验：假定除机器这一因素外，材料的规格、 操作人员的水平等其它条件都相同；试验的目的：考察机器这一因素对厚度有无显著的影 响。 表9.2 电路的响应时间类型I类型II类型III类型IV19 2220181520 2133274016 15182617182219例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。试验的指标：电路的响应时间因素：电路类型水平：4种电路类
4、型试验的目的：考察电路类型这一因素对响应时间有无显著的影响。 表9.3 火箭的射程推进器（B）燃料（A ）58.2 52.656.2 41.265.3 60.849.1 42.854.1 50.551.6 48.460.1 58.370.9 73.239.2 40.775.8 71.558.2 51.048.7 41.4例3 一火箭使用四种燃料，三种推进器作射程试验，每种燃料与每种推进的组合各发射火箭两次，得射程如下（以海里计）：试验指标：射程因素：推进器和燃料，这是一个双因素的试验水平：3种推进器、4种燃料试验的目的：考察推进器和燃料两个因素对射程是否有显著的影响。 l 方差分析是鉴别因素影
5、响的显著性及因素的各种水平 的影响（效应）的一种统计方法。l 仅分析一个因素对试验的影响，称为单因素方差分析l 方差分析的目的在于从试验数据中分析出各个因素的影响及各个因素间的交互影响，以确定各个因素作用的大 小。l 把由于观测条件不同而引起试验结果的不同与由于随机因素而引起试验结果的差异用数量的形式区别开来，以确定在试验中有没有系统性的因素（即不同的因素或同一因素的各个不同水平）在起作用。 在例1中，表中数据可看成来自三个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为，按题意需检验假设假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，参数均未知。任务：检验同方差的多个正态总体均
6、值是否相等？单因素试验的方差分析： 设因素A有s个水平，在水平下，进行水平 观察结果样本总和 样本均值 总体均值次独立试验，得到如下表的结果。假定：各个水平下的样本来自具有相同方差，均值分别为的正态总体的样本之间相互独立。故可看成是随机误差，记，则可写成：其中与方差分析的数学模型。 未知。且设不同水平Aj下（3.1）均为未知参数。（3.1）式称为单因素试验方差分析的任务是对模型（3.1）：1检验s个总体的估计。 的均值是否相等，（3.2）不全相等。2作出未知参数即检验假设3求出 的区间估计。将的加权平均值记为（3.3），称为总平均，再引入此时有表示水平下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将称为
7、水平的效应。 其中(3.4)即假设（3.2）等价于假设（3.2） （3.1）模型（3.1）可改写成：（二）平方和的分解如何把由于因素水平的不同而造成的结果的差异与由于随机因素的影响而造成结果的差异两者从数量上区分开来。平方和分解公式：总偏差平方和： 其中是数据的总平均。 （3.5）（3.6）总偏差平方和的分解：其中（3.10） （即水平下的样本平均值）（3.8）（3.9）（3.7）是所有观察值与总平均值之差的平方和，是描述全部数据离散程度的数量指标。能称为总变差。是观察值与水平内样本均值之差的平方和，叫做误差平方和。它反映了水平内样本的随机波动，反映了因随机因素的作用引起的差异，反映了重复试验
8、中误差的总大小。 反映全部试验数据之间的差异，是水平内样本均值与数据总平均之差的平方和。它在一定程度上反映了因素是否成立。如果显著地大于，说明各显著地大于重复试验中误差的总大小，这时这种比较方差大小来判断原假设是否成立的方法，就是的各个水平不同而引起的差异，因此在一定程度上可反映原假设叫做因素A的效应平方和。之间的差异大小可能不成立。方差分析法名称的由来。与的比值反映了两种差异所占的比重，若问：的比值大到什么程度，可以否定因此，统计量可用来检验因素的效应是否显著。 的比值越大，说明因素的各个水平不同引起的差异显著。？因各独立，故（3.11）式中各平方和独立。由的可加性知：即（3.12） 的统计
9、特性：（3.11）注意到分布且有 （3.13） SA的统计特性：SA是s个变量之间仅有一个线性约束条件：故知SA的自由度是s-1. 的平方和，它们由的独立性，知：即得由得可以证明与独立，且当为真时(3.14)（3.15）（四）假设检验问题的拒绝域即是的无偏估计。而当H1为真时，则不管H0是否为真，都是的无偏估计。 （3.17）此时 （3.18）又由（3.13）知，当H0为真时综上所述，公式的分子与分母独立，分母SE不论H0是否为真，其数学期望总是。当H0为真时，分子的数学期望为其中k由预先给定的显著性水平确定。 ，当H0不真时，及SE与SA的独立性知，当H0为真时，由(3.12) , (3.1
10、6)式由（3.18）式分子的取值有偏大的趋势，故知检验问题（3.2）的拒绝域具有形式由此得检验问题（3.2）的拒绝域为如果，则拒绝如果，则接受上述分析的结果可排成表9.5的形式，称为方差分析表。 （3.20），此时说明因素对指标起显著影响；，此时说明因素A的不同水平对结果影响不显著。表9.5 单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方F值因素ASAs-1误 差SEn-s总 和STn-1表中分别称为SA,SE的均方。在实际中，可以按以下较简便的公式来计算ST,SA的SE.。即有（3.21） 记方差来源平方和自由度均 方F 值因 素2677.653892.556.30误 差1699.512141
11、.625总 和4377,1515例 肥料对农作收获量的显著性检验的方差分析表例4：设在例1中符合模型（3.1）条件，检验假设 解：现在的自由度依次为得方差分析表如下： （ =0.05)：表9.6 例4的方差分析表方差来源平方和自由度均 方F 值因 素0.001053 3320.0005266732.92误 差0.000192120.000 016总 和0.001245 3314因认为各机器生产的薄板厚度有显著的差异。 ，故在水平0.05下拒绝H0，（五）未知参数的估计不管H0是否为真，是又由(3.14),(3.7)式知故 分别是的无偏估计。 的无偏估计。又若拒绝H0，这意味着效应由于知是的无偏
12、估计。此时还有关系式六、区间估计当拒绝H0时，常需要作出两总体和的均值差由于不全为零，的区间估计。其做法如下：由于与据此得均值差的置信水平为区间为（3.22） 独立。于是的置信例5 求例4中的未知参数解 均值差的区间估计如下，由故及的置信水平为0.95的置信区间分别为的点估计及均值差的置信水平为0.95的置信区间。例6：设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态，且各总体的方差相同，但参数均未知。又设各样本相互独立，试取水平响应时间是否有显著差异。响应时间总体的平均值，需检验检验各类型电路的解：分别以记类型I、II、III、IV四种电路现在的自由度依次为17,3,14，结果载于下表。 表
13、9.7 例6的方差分析表方差来源平方和自由度均 方F 值因 素318.983106.333.76误 差395.461428.25总 和714.4417因认为各类型电路的响应时间有显著差异。，故在水平0.05下拒绝H0 ，1.4 双因素试验的方差分析品种和土壤对农作物的影响ABCACACBBBACABCCABBCA影响试验结果的因素往往不止一个，要用双因素或多因素的方差分析；确定在众多的因素中哪些因素是主要的，它们对试验结果的影响是否显著；它们之间是否有交互作用。（一）双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素A，B作用于试验的指标。因素A有r个水平，因素B有s个水平A,B的水平的每对组合(Ai,
14、Bj)，都作t (t2)次试验（称为等重复试验），得到如下结果 。对因素因素B 因素AB1B2BsA1A2Ar设：各独立，均为未知参数。或写成：（4.1） 引入记号：易见：称为总平均， 为水平的效应，称为水平的效应. 表示成记（2.4）作用引起的，易见：（4.2）（4.3）此时称为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai , Bj联合（4.1）可写成其中双因素试验方差分析的数学模型。 （4.5）都是未知参数。（4.5）式就是对于这一模型要检验以下三个假设：（4.6）（4.7）（4.8） 与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是建立在平方和的分解上。引入记号：总偏差平方和（称为总变差）ST写成
15、：即得平方和的分解式：（4.9） 其中 （4.10）（4.11）(4.12)SE称为误差平方和，SA,SB分别称为因素A、因素B的效应平方和，称为A,B交互效应平方和。 （4.13）可以证明且有：（4.14）（4.15）（4.16） 的自由度依次为为真时，可以证明取显著性水平为，得假设下，假设H02的拒绝域为（4.20） （4.17）当（4.18）的拒绝域为（4.19）类似地，在显著性水平在显著性水平下，假设H03的拒绝域为（4.21）上述结果可汇总成下列的方差分析表：表9.9 双因素试验的方差分析表方差来源平方和自由度均 方F 值因素ASAr-1因素BSBs-1交互作用SAB(r-1)(s-
16、1)误 差SErs(t-1)总 和STrst-1记可以按照下述（4.22）式来计算上表中的各个平方和。（4.22） 例1：在上一节例3中，假设符合双因素方差分析模型所需的条件，试在水平0.05下，检验不同燃料（因素A），不同推进器（因素B）下的射程是否有显著差异？交互作用是否显著？解：需检验假设（见(4.6)(4.8)）.表中括弧内的数是，现在，故有的计算如表9.10。B AB1B2B3TiA1 (110.8) (97.4) (126.1)334.3A2 (91.9) (104.6) (100)296.5A3 (118.4) (144.1) (79.9)342.4A4 (147.3) (109.2) (90.1)346.6T.j. 468.4455.3396.1
