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1、1 1基本要求： 领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握互等定理；支座移动和温度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘法求位移。Structure displacement computing虚功及虚功原理 结构位移计算的一般公式 图乘法及举例 温度改变产生的位移计算 支座移动产生的位移计算 线弹性体互等定理第第5 5章章 静定结构的位移计算与静定结构的位移计算与 虚功原理虚功原理2 2变形与变形能材料力学知识：拉压变形（应变）：弯曲变形（曲率）：剪切变形（剪切角）：扭转变形（扭转角）：3 351 结构位移计算概述a）验算结构的刚度； b）为超静定
2、结构的内力分析打基础； c）建筑起拱。 -t +t不产生内力，产 生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差不产生内力和变 形产生刚体移动 位移是几何量，自然可用几何法来求， 但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因：计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形。即：线弹 性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。1、计算位移目的： 举例l4 4如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。将各下弦杆做 得比实际长度 短些，拼装后 下弦向上起拱 。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱返回5 552
3、虚功原 理荷载由零增大到P1，其作用点 的位移也由零增大到11，对 线弹性体系P与成正比。 元功 dT=PdP2在自身引起的位移22上作的功：在12过程中，P1的值不变，12与P1无关PP111dTOAB一、静力加载过程T =P /222222T =P 121216 6二、实功与虚功实功：是力在自身引起的位移上所作的功。实功恒为正。虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，如力与位移反向，虚功为负kj 位移发生的位置产生位移的原因三、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关 系是：它们的
4、乘积是虚功。即：T=ST =P /222222T =P 121217 7P广义力广义位移单个力力作用点沿力作用方向上的线位移单个力偶力偶作用截面的转角等值反向共线的一对力两力作用点间距的改变，即两力 作用点的相对位移一对等值反向的力偶两力偶作用截面的相对转角mPPttABBAT=PA+PB=P（ A+B） =PABmmABT=mA+mB=m（ A+ B）=m8 8P XP1 虚功原理的应用1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2）需设力系求位移（虚力原理）刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是 ，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。四、刚体虚功原理abACBPX1、需设位移求静定结
5、构的未知力X =1，P=b/aX -P =0pXX1 -P =0pX=P p9 9虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设X=1。3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构， 使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚位移。 利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。1010虚功方程为: YC1
6、a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAX=11.50.75YCqqaqa20.75/a+qa0.75 qa20.75/a q1.53a/20 YC=2.25qa1111虚功方程为: QC1a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa2QCQC10.50.250.25/a+qa0.25 qa20.25/aq(12a/2+0.5 a/2 )0QC=1.25qa12122、应用虚功原理求静定结构的位移b acP=1建立虚功方程：P+Rac=0（）1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。 3）
7、虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。1313五、变形体系的虚功原理: 状态 1 是满足平衡条件的力状 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和T12 012即：T12=N1N1+dN Q1Q1+dQM1M1+dM dsdsds2dsd2=2ds微段的变形可分为2ds，2ds，2ds+=dsMdsQdsN1dVV212121212kge变变变 12dV=N12ds+Q12ds+M12ds+dsMdsQdsN121212kgeT12=2ds证明14141内力是成对出线的，等值反向
8、， 变形是连续，所以左段右截面与 右段的左截面的内力等值反向， 位移相同，这样，相邻微段间的相互作 用力的功相互抵消。于是，整个梁各微段的内力 在位移上的总功等于零：1N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMds1，求dV12之和V12=dV122，求V12的方案一：微段上受的力梁上的外力外 12V内 1212VV=+=内 外 121212dVdVdV+=内 12dV外12dV外 12V=T12（a）3，求V12的方案二： 将状态2中ab微段的位移过程分为2ababababb刚 12dV变 12dV+12dV=随a截面的刚体位移，移至ab“=变 12dV因为微段平衡 所以刚12dV=0变 1
9、212VV=（b）由 （a）、（b）得：T12=V12虚功原理的证明截面内力变形引起的位移（a截面不动）再移至ab返回1515例：图a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常 曲率的弯曲变形且B点无线位移。现已知横梁的曲率为BC= 0.001m-1。试应用虚功原理求立柱AB的曲率AB。8m5mABCABBCM=1M=1虚设力系解： 虚功方程为：10016.058-=mBCABkk15180-=ABBCkk11=- dxMACkqqA=B=CEnd161653 单位荷载法 位移计算的一般公式P1P2t1t2222位移状态 2c1KKKHP=1虚拟力状态 11R需首先虚拟力状态在欲求位移处沿所
10、求位移方向加 上相应的广义单位力P=1. ()+=+D iiKHdsMQNcR2221kge ()-+=DiicR dsMQN222kge该式是结构位移计算的一般公式,1) 适用于静定结构和超静定结构。2) 适用于不同的材料、产生位移的各种原因、不同的变形类型。 3) 该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。1717（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架荷载作用下的位移计算NP QP MP真实 位移 状态注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度；k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的
11、原因；虚设单位荷载引起的内力是dsEIMMP（5）桁架 =EANNPds =（6）桁梁混合结构用于梁式杆用于桁架杆（7）拱常只考虑弯曲变形的影响；对扁平拱需考虑轴向变形。dsEIMMPEANNP+=1818（8）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是弹性体系。 （9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。P=1m=1m=1m=1 P=1P=1l1/l1/lAB求A点的 水平位移求A截面 的转角求AB两截面 的相对转角求AB两点 的相对位移求AB两点 连线的转角位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！1919例：图示屋架 的压杆采用钢 筋混凝土杆， 拉杆采用钢杆 。
12、求C的竖向 位移。柱q解：1)将q 化为结点荷 载P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12 l/122P2P54 荷载作用下的位移计算举例继续继续2020ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求4)求C材料杆件NPAlNEAlNNP钢筋 混凝土钢筋ADCDDECEAEEG1.581.58001.501.504.74P4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb
13、0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)23)求NP继续2121dGAPRdEAPR EIPR+ +=cossin20203 q qk qqpp22PP=1例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移。 解：1）虚拟单位荷载q cos=Qq sin-=Nq sin-=RMqcos=PQPqsin-= PNPqsin-= PRMP虚拟荷载3）QNMD+D+D=PPP GAdsQQEAdsNNEIdsMM+=DGAPR EAPR EIPR+=D4443pk ppds=Rddd
14、s钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMN ARI2412=DDMQ Rh GAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101R如2222Pl/2l/2EIABx1 x2例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载m=1MP（x1）=Px/2 0x1l/2 MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2l0xlEIdsMMlP B0=积分常可用图形相乘来代替2）MP须分段写2323kidsEIMM=kiCEI dxMMEI1=DP EIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkM dxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0x0注：表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；
